単項イデアルの極大条件〈龍孫江の環論道具箱〉

　整域がUFDとなる条件について，整数環における「素数」を，素元と既約元の２種類に一般化し，両者が必ずしも同じ概念ではないことを紹介しました．

https://youtu.be/yJcumDtarvA

　今回の話を通して$${A}$$を整域とし，$${A}$$の真の単項イデアル（$${A}$$自身ではない単項イデアル）の全体を$${\operatorname{PI}~(A)}$$と表します．

定理（既約元の積への分解）

　$${\operatorname{PI}~(A)}$$は極大条件をみたす，すなわち

$${\operatorname{PI}~(A)}$$の部分集合$${X \ne \varnothing}$$は極大元をもつ

をみたすとき，$${A}$$の任意の要素$${x \ne 0}$$は有限個の既約元の積に分解できる．□