ネーター環の特徴づけ〈龍孫江の環論道具箱〉
ネーター環（昇鎖律および極大条件をみたす可換環）を導入し，ＰＩＤがネーター環であることを示しました．今回は，ネーター環のもうひとつの定義と呼べる性質を紹介します．
定理（ネーター環の特徴づけ）
環$${A}$$に対し，以下の条件は同値である．
(1) $${A}$$はネーター環である．
(2) $${A}$$のあらゆるイデアルは有限生成である，すなわち任意の$${A}$$のイデアル$${I}$$に対して有限個の要素$${a_1, \ldots, a_s}$$をうまく選べば$${I = (a_1, \ldots, a_s)}$$とできる．□
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