イデアルの積〈龍孫江の環論道具箱〉

　単項イデアル整域において，２つのイデアルの和をとる，交叉をとるなどの操作が，両者の生成元の乗法的な性質を反映することを紹介しました．具体的には

$$
(a) + (b) = (\operatorname{gcd} (a,b)),~~(a) \cap (b) = (\operatorname{lcm} (a,b))
$$

などを見てきました．そこで，乗法的演算の最たるものである「積」も，対応するイデアルはないものかと期待してしまいます．

https://youtu.be/6tBz6izM4rs

補題（単項イデアルの積）

単項イデアル$${I = (a), J = (b)}$$に対し

$${\{ xy \mid x \in I, y \in J \} = (ab)}$$．□