演算と同値関係〈龍孫江の環論道具箱〉

　イデアルによる剰余類を導入し，この剰余類の空間$${A/I}$$に環構造を（できるだけ自然な形で）定めたいと模索しているところでした．そのために，剰余類を定める同値関係と演算の整合性から考えていきましょう．

https://youtu.be/sF-EDrPjyQQ

補題（演算と同値関係）

イデアル$${I}$$による同値関係$${\sim}$$は演算と整合する，すなわち$${a_1 \sim a_2}$$かつ$${b_1 \sim b_2}$$のとき

$$
a_1+b_1 \sim a_2 + b_2,~~~a_1b_1 \sim a_2 b_2.
$$

イデアル$${I}$$による同値関係$${\sim}$$は
$${ x \sim y \iff x-y \in I}$$
により定義される．

https://note.com/ron1827/n/n179cc92d4767