昇鎖律と極大条件〈龍孫江の環論道具箱〉

　整域がＵＦＤとなる条件を与え，体上の１変数多項式環がＵＦＤであることを示しました．多項式環の場合の証明を眺めると，ＵＦＤとなる条件の１つ「既約元は素元である」はＰＩＤでも成り立ちそうですが，もう１つの「単項イデアルに関する極大条件」は俄かに見えません．

https://youtu.be/1YcVSL0D3ws

定理（昇鎖律と極大条件）

環$${A}$$に対し，以下は同値である：
(1) いかなる$${A}$$のイデアルの昇鎖$${I_1 \subseteq I_2 \subseteq  I_3 \subseteq \ldots }$$に対しても，ある番号$${N}$$により$${I_N = I_{N+1} = I_{N+2} = \cdots}$$となる．
(2) $${A}$$のイデアル全体の集合は，包含関係について極大条件をみたす，すなわち空ではないイデアルの集合は極大元をもつ．□