GCDとLCM〈龍孫江の環論道具箱〉

　素元分解を用いて，整域におけるいろいろな性質を書き直そうと試みています．前回は整除関係を捉え直しましたが，今回は最大公約数・最小公倍数を拡張します．

https://youtu.be/zupDQqtk_ZY

整除関係が導く前順序

整域$${A}$$において，$${A \setminus 0}$$の関係$${\le}$$を

$${x \le y \iff A}$$内で$${x}$$は$${y}$$を整除する

と定めると前順序，すなわち反射律と推移律をみたすことがわかります．もしこの$${\le}$$が反対称律

$${x \le y}$$かつ$${y \le x}$$のとき$${x = y}$$

もみたせば順序になって万々歳なのですが，どうしても単元倍の誤差が避けがたく残ってしまいます．ただ，単元倍の誤差を解消する方法は既に知っていて，それが「イデアル」です．