避けきれないイデアル〈龍孫江の環論道具箱〉

　２回かけて素イデアル避けを紹介してきました．とりわけ素イデアルでないイデアルを含む場合の主張は，なんとも「これどうなってるんだ？」と感じさせる部分があります．

定理（Prime Avoidance改・再掲）

$${P_1, \ldots, P_n}$$は高々２個を除き素であるイデアルとする．$${I}$$をイデアルとするとき，各$${t}$$に対し$${I \not\subset P_t}$$ならば$${I \not\subset \bigcup P_t}$$である．□

　この「高々２個を除き素」という条件について，「素でないイデアルを含む場合はほとんど使ったことがないはず」と述べたところ，膝を打つようなご指摘を頂きました．（素イデアル避けを使っている意識もなかったのです）

正則局所環の文脈で、m/m^2の非零元をとる（つまりm^2と素イデアルたちから回避する）のはたまに見るけど、二つ素でないイデアルがあるのは見ないなぁ…… https://t.co/oV1rgSEe7L

— みつ (@N_Mts23) January 27, 2025

さて，本題に進みましょう．今回の話題は，素イデアル避けにおいて「３個以上素でないイデアルの族は避けきれるか？」です．これについては，次の例が存在します．

例（避けきれない素イデアル）

$${A = \mathbb{F}_2[X,Y]/(X,Y)^2}$$のイデアル

$${ P_1 = (X)}$$，$${P_2 = (Y)}$$，$${P_3 = (X+Y)}$$
および$${M = (X,Y)}$$

とおくとき，各$${t}$$に対し$${M \not\subset P_t}$$だが$${M = P_1 \cup P_2 \cup P_3}$$である．□