【論理思考】具体的な数で考える

数学の問題で、一般式を求めてください。という問題がよくあります。変数を使って表すものですが、数学において有効な手法の一つとしては

具体的な数で考える

と有効な場合が多いです。

皆様、海賊と金貨の問題というものをご存じでしょうか？

一番上位の海賊（＝親分）が分け方を提案し、本人を含む全員で投票します。半分以上の海賊がその案に賛成票を入れれば、金貨はその分け方で分けます。賛成票が足りなければ親分を追放して、やり直しをします。
追放があった場合、追放された海賊を除外して、その次に上位だった海賊が親分になり自分の分割案を出し、同じ規則で投票し、金貨を分けるかその海賊を追放するかします。一つの案が認められるまでこの手順を続けます。

ルール：
すべての海賊は一枚でも多くの金貨を獲得したい
すべての海賊は論理的である
それぞれの海賊は共謀せず、個人の金貨の最大限の獲得だけを考える

この場合どのように考えていけばいいとおもいますか？

そう、記事の最初で書いた通り具体的な数で考えていきます。この場合は小さい人数から順番に考えていきましょう！

ケース1.海賊が二人だった場合

えらい順番からA,Bとします。Aが提案しますが、二人の場合は自分が投票で一票入れれば半数を獲得できるのでどのような提案でも確実に通ります。なのでAに100枚、Bに0枚の提案が答えになります。

ケース2.海賊が三人だった場合

えらい順番からA,B,Cとします。Aが提案しますが、この場合は2票獲得しなければいけなくなります。

Bの立場で考えてみると、基本どういう提案をされても否決を取りに行くのが最適になります。否決になった場合はAが追放され、ケース1の状況になるので100枚獲得できます。なのでBが100枚もらえる提案でもない限りBの立場からすると反対になります。

ではCの立場ではどうでしょうか？上記の理由から反対した場合はCのもらえる硬貨は確実に0枚になります。なので1枚でも提案されれば賛成せざるをえなくなります。

なので、Aの提案は

A:99枚 B:0枚 C:1枚

の提案が最適となります。(A:100枚 B:0枚 C:0枚の場合はCの決定次第になります)

では5人の場合はどうでしょうか？解説した動画がありますので答えの気になる方は是非ご視聴ください！！