大類のナビエ-ストークス方程式の理論の流れを二次方程式で

正の定数$${M}$$を$${2M\lt 1}$$となるように取る. $${f}$$は$${0\le f\le M^2}$$を満たす定数とする. $${u}$$の二次方程式
$${u=f-u^2}$$
の$${|u|\le M}$$を満たす解$${u}$$の存在を言いたい. $${\varPhi[u]=f-u^2}$$とする. $${|u|\le M, |v|\le M}$$を満たす$${u, v}$$に対して, 不等式$${|a+b|\le |a|+|b|}$$より
$${|\varPhi[u]|\le M^2+M^2=2M^2\lt M}$$,
$${|\varPhi[u]-\varPhi[v]|}$$
$${\le |v+u| |v-u|}$$
$${\le 2M|u-v|}$$
であるからバナッハの不動点定理(縮小写像の原理)より上の二次方程式の解$${u}$$が$${u=\varPhi[u], |u|\le M}$$を満たす不動点$${u}$$として得られた.

実際に解の公式を使って解くと, 不等式$${\sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}}$$より
$${(-1-\sqrt{1+4f})/2\lt 0 \le (-1+\sqrt{1+4f})/2\lt (-1+(1+2M))/2=M}$$
であるから整合的である.

(END)