イギリス盤ペグソリティアを数学的に解析 : ３色パリティとパゴダ関数（３）　

パゴダ関数のお話がまだ続いています。
ラジくまるが理解したパゴダ関数の使い方は下の図の通りです。

数字はそれぞれの状態のパゴダ関数の値

たとえば、一番左の図の状態（初期配置）から開始して、なんとなくぴょんぴょんとペグをジャンプさせて、左から２番目の図のような形になったとします。
その状態から、すぐ右隣りの形状にできるかな？できないかな？と考察してみます。
左から２番目のパゴダ数総和（つまりパゴダ関数）は２６です。その右隣りのパゴダ関数の値は２７です。
パゴダ関数の値はジャンプ後に絶対に増加しません。ですから左から２番目の状態から３番目の状態へと変化することは「ない」と断言できます。

この性質は、こんな風に利用できます。たとえば、この形式のパゴダ数の組み合わせにおいて・・・・

パゴダ数値付けの１例

下図のような「ステップ」を作ってみます。
あるステップから次のステップへ進むと仮定した時、ちゃんとパゴダ関数の値が減少するかどうか調べればいいのです。
この作業工程によって、ペグパズル問題の解析速度を速めることができそうです。

それぞれの状況でのパゴダ関数の値

左から右へと進むと仮定した時、上の図の場合はパゴダ関数は単調に減少しています。
本当にできるか出来ないかは、あとで実際にジャンプしてみて確かめないといけないとはいえ、でも、少なくともこういう手順によってパズルが解けそうだ。という事前準備ができるのです。
これはこれで、すごい事ですよ。

なぜって、ペグ数の初期値が１０００本みたいな巨大なパズルを想像してみてください。
１０００本のパズルでも、このように何段階かのステップに分解することによって、少なくとも「絶対に解がない。行き止まり。」みたいな、無駄な解き方の「コース（方針）」を、事前に「除外」できるんです。
それは、パズルを解き始めるにあたっては、すごい有用な情報と言えます。

さて、ここまでは「パゴダ関数」単独についてだけ説明しました。
でも、実際の応用場面では、「途中経過：ステップ」の案を作る際に、同時に「３色パリティ」についても矛盾がないことを確認しながら「ステップ」を作りこめば、さらに信頼度が高まります。
さらに重ねて、パゴダ関数も、かなり性質が異なるタイプを３種類くらい作っておけば、それら「３のパゴダ関数」全てが矛盾しない「ステップ（途中の形状）」は？と考慮しながらステップ（途中のペグ配置形状）を絞り込めます。その作業を最初にやっておくことで、もうスラスラとパズルが解けちゃいそうな、そんな予感がしてきます。

このように、パゴダ関数と３色パリティとの両方を組み合わせ使用して、互いに矛盾しないように「ステップ（途中の形状）」を細かく作り込んでいくと、正解への道筋が「ぼんやりと光って見えてきちゃう」ような気がしませんか？

ラジくまるは、この２つの理論の組み合わせは強力だな、という印象を持ちました。
そしてそれと同時に、だからー！適切なパゴダ数って、どうやったら創出（生成）できるのさ！っていうことで、結局のところ、やっぱりよくわからないという感想を持ったのです。