複素数の複素数乗
投稿遅れてすみません。
今回は、実数の実数乗の拡張として複素数の複素数乗を考えます。
複素数の複素数乗とは
高校で、実数の実数乗を習いました。そこで、実数を拡張した複素数を考えます。
$${a^b}$$が実数の実数乗でした。ここでは$${a,b}$$は実数を$${(x+yi)^{a+bi}}$$にすることで実数変数を4つにします。
ここで使用する法則
指数法則
$${a^m*a^n=a^{m+n}}$$
$${(a^m)^n=a^{m*n}}$$
$${(ab)^n=a^n*b^n}$$
オイラーの公式
$${e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}$$
座標変換
$${x+yi=re^{i\theta}}$$ここで$${r=\sqrt{x^2+y^2}}$$、$${\theta=\arctan(\frac{y}{x})}$$
具体的な計算方法
$${(x+yi)^{a+bi}}$$の$${x+yi}$$を極形式$${e^{i\theta}}$$に変換します。
$${(x+yi)^{a+bi}=(re^{i\theta})^{a+bi}}$$
指数法則③から
$${(x+yi)^{a+bi}=re^{i\theta(a+bi)}}$$
括弧を展開して
$${(x+yi)^{a+bi}=re^{ia\theta-b\theta}}$$
実部と虚部を分けて計算したいので
$${(x+yi)^{a+bi}=re^{-b\theta+ia\theta}}$$
指数法則①を使って指数を分解します
$${(x+yi)^{a+bi}=re^{-b\theta}*e^{ia\theta}}$$
オイラーの公式を使用して虚数乗を消します
$${(x+yi)^{a+bi}=re^{-b\theta}*(\cos(a\theta)+i\sin(a\theta))}$$
$${re^{-b\theta}}$$を展開します
$${(x+yi)^{a+bi}=re^{-b\theta}(\cos(a\theta)+re^{-b\theta}i\sin(a\theta))}$$
順番を整えて綺麗にします
$${(x+yi)^{a+bi}=\cos(a\theta)re^{-b\theta}+i\sin(a\theta)re^{-b\theta}}$$
$${r}$$と$${\theta}$$を戻します。$${r=\sqrt{x^2+y^2}}$$で$${\theta=\arctan(\frac{y}{x})}$$です
$${(x+yi)^{a+bi}=\cos(a\arctan(\frac{y}{x}))\sqrt{x^2+y^2}e^{-b\arctan(\frac{y}{x})}+i\sin(a\arctan(\frac{y}{x}))\sqrt{x^2+y^2}e^{-b\arctan(\frac{y}{x})}}$$
結果が出ました。式変形お疲れさまでした！最後に綺麗な形にしてまとめます。
結果
$${(x+yi)^{a+bi}=\cos(a\arctan(\frac{y}{x}))e^{-b\arctan(\frac{y}{x})}\sqrt{x^2+y^2}+i\sin(a\arctan(\frac{y}{x}))e^{-b\arctan(\frac{y}{x})}\sqrt{x^2+y^2}}$$
実部$${＝\cos(a\arctan(\frac{y}{x}))e^{-b\arctan(\frac{y}{x})}\sqrt{x^2+y^2}}$$
虚部$${=\sin(a\arctan(\frac{y}{x}))e^{-b\arctan(\frac{y}{x})}\sqrt{x^2+y^2}}$$
意外と綺麗な形になりました。