Piece CHECK(2024-68) 3次関数のグラフの法線
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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)
1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち
原則(Principle Piece)
を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが
「なぜそのような解答になるのか」が分かる
ことを、とにかく意識した参考書になります。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。東京大学(文系)から、3次関数のグラフの法線に関する問題です。
思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約5分です。
解説・原則など
こちらも参照してください。
法線が3点で交わる条件を求め、その条件下でいろいろ計算する問題です。問題文をみてごつそうで避けた人もいるかもですが、たぶん2022年東大文系数学では一番マシな問題です。この年は厳しい。。。
（１）はとりあず接点が与えられていますので、法線の式を出しましょう。傾きはー１／3α^2ー１となりますが、分母が文字式なので、これが０の場合は条件に合わないことを、これの前にさくっと述べておきましょう。
この法線と元の式を連立し、3つの解を持てばいいことになります。法線の式がごついので連立は嫌な感じがしますが、$${\bm{x=\alpha}}$$で交わることは明らかなので、$${\bm{x-\alpha }}$$を因数に持ちます。
放物線と法線との交点は片方の解を利用する
本問はここの因数分解ポイントだと思います。ここで詰まった場合は全滅に近いです。
結局2次方程式の方が$${\alpha }$$以外で異なる2解をもてばOKなので、判別式利用ですね。なお、$${\bm{D>0}}$$のときに両辺に$${\bm{3\alpha ^2-1}}$$を掛けるのはマズイです。不等式の場合は3α^2ー１の符号次第で向きが変わります。
今回は分子が確実に負なので、分母も負となることが条件です。ここも係数的には気づきにくいところですかね。
※なお、(1)を「図形的に明らかに極大点と極小点の間だけだ」とする解説をどこかで見かけました(は？と思ってもう見るのをやめたので覚えてません笑)。
これ、とんでもない間違いです。たとえば、$${x^3-x}$$が$${x^3-2x}$$になっただけでも成り立ちません。それが分かる問題を、次回紹介します。同じ年に他大で出題された問題です。
（２）以降は（１）が出来れば楽勝でしょう。解に関する対称式ですから、解と係数の関係の利用で基本対称式を出します。
2次、3次方程式の解の対称式の値 → 解と係数の関係で基本対称式を準備
（３）も式はごつそうですが。（２）のプロセスで分かるように、逆数をとることでαの多項式になりますので、ｕはただの3次関数です。微分して増減表を書けば取りうる値の範囲が分かりますね。
（１）がすべてでしょう。繰り返しになりますが、図形的に明らかではありません。そのような解説を満た際にはご注意を。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
解答
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