三角（円）函数と双曲線函数を虚数・冪単で結ぶ
「三角関数に（純）虚数角を入れると双曲線函数になる」ことは、相対論のローレンツブーストが双極回転に他ならないという事実と共に有名である。「両函数は複素数を介して繋がっている」とも言える。
両函数の対称性を担保する冪単を用いて、この関係に少々の修正を試みる。
本記事では「虚数角とは何か」という本質には踏み込まず、形式的に成り立つかどうかのみを考慮する。
用語の注意
通常の三角函数を、用語の対称性のため「円函数」と呼ぶ。
特に断りがなければ、「虚数」は「純虚数」を意味する。
現状流通する「関数」は本来の「函数」と表記する。戦前までこう表記され、漢字の意味としてもより相応しいと考えるからである。
虚数角で円函数と双曲線函数を結ぶ
円・双曲線函数の冪乗表示
上記記事で、円函数$${\cos \theta,\sin \theta}$$と双曲線函数$${\cosh \phi,\sinh \phi}$$の$${e}$$冪乗表示は、$${u^2 =1,u \ne\pm1}$$の性質を有する冪単$${u}$$($${unipotent}$$)の導入により以下のような対称性を得た。以下、これらを円・双曲線函数の対称冪乗表示と呼ぶ。
$$
\cos \theta = \dfrac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta}),\sin \theta = \dfrac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})
$$
$$
\cosh \phi = \dfrac{1}{2}(e^{u\phi} +e^{-u\phi}) ,\sinh \phi = \dfrac{1}{2u}(e^{u\phi} -e^{-u\phi}) \\
$$
双曲線函数は、非対称性を許容した場合（冪単なし）には以下のようになる。上式で$${u=1}$$としたものに等しい。これを双曲線函数の非対称冪乗表示と呼ぶ。
$$
\cosh \phi = \dfrac{1}{2}(e^{\phi} +e^{-\phi}) ,\sinh \phi = \dfrac{1}{2}(e^{\phi} -e^{-\phi}) \\
$$
虚数角の代入（非対称冪乗表示）
「円函数に虚数角を入れたもの」を非対称冪乗表示で計算する。
$${\phi}$$を実数とし、$${\theta \to i\phi}$$とする。
$$
\begin{align*}
\cos i\phi =& \dfrac{1}{2}(e^{i \cdot i\phi}+e^{-i \cdot i\phi})\\
=& \dfrac{1}{2}(e^{\phi}+e^{-\phi})\\=& \cosh \phi
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\sin i\phi =& \dfrac{1}{2i}(e^{i \cdot i\phi}-e^{-i \cdot i\phi})\\
=& \dfrac{1}{2i}(e^{-\phi}-e^{\phi}) \\
=& -\dfrac{1}{i} \cdot \dfrac{1}{2}(e^{\phi}-e^{-\phi}) \\
=&i\sinh \phi
\end{align*}
$$
ではその逆、つまり双曲線函数に虚数角を入れるとどうなるのだろうか。これも非対称冪乗表示で計算する。
$${\theta}$$を実数とし、$${\phi \to i\theta}$$とする。
$$
\begin{align*}
\cosh i\theta =& \dfrac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})\\
=& \cos \theta
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\sinh i\theta =& \dfrac{1}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\\
=&i\sin \theta
\end{align*}
$$
円函数に虚数角を入れると双曲線関数になる。逆に双曲線関数に虚数角を入れても円函数になる。但し、$${\sin,\sinh}$$については虚数単位が現われる。
虚数角の代入（対称冪乗表示）
上の関係式はしかし、冪単$${u}$$を用いない非対称冪乗表示であり、対称性を保持する定義式とはなっていない。
これは、$${u}$$と$${i}$$を同時に用いれば解決する。
$${\theta \to ui\phi}$$とし、円函数に代入する。
$$
\begin{align*}
\cos ui\phi =& \dfrac{1}{2}(e^{i \cdot ui\phi}+e^{-i \cdot ui\phi})\\
=& \dfrac{1}{2}(e^{u\phi}+e^{-u\phi})\\=& \cosh \phi
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\sin ui\phi =& \dfrac{1}{2i}(e^{i \cdot ui\phi}-e^{-i \cdot ui\phi})\\
=& \dfrac{1}{2i}(e^{-u\phi}-e^{u\phi}) \\
=& -\dfrac{u}{i} \cdot \dfrac{1}{2u}(e^{u\phi}-e^{-u\phi}) \\
=&ui\sinh \phi
\end{align*}
$$
逆も実施する。$${\phi \to ui\theta}$$とする。$${u^2=1}$$及び$${\dfrac{1}{u}=u}$$に注意。
$$
\begin{align*}
\cosh ui\theta =& \dfrac{1}{2}(e^{ui \cdot u\theta}+e^{-ui \cdot u\theta})\\
=& \dfrac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})\\
=& \cos \theta
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\sinh ui\theta =& \dfrac{1}{2u}(e^{ui \cdot u\theta}-e^{-ui \cdot u\theta})\\
=& \dfrac{i}{u} \dfrac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\\
=&\dfrac{i}{u}\sin \theta\\
=&ui\sin \theta
\end{align*}
$$
円函数に$${ui\phi}$$を入れると双曲線関数に、双曲線関数に$${ui\theta}$$虚数角を入れると円函数になる。但し、$${\sin,\sinh}$$については$${ui}$$が現われる。
$${ui}$$を用いることで、対称性を担保しつつ相互関係を実現することができた。纏めると以下の通り。
$$
\begin{align*}
\cos ui\phi =& \cosh \phi\\
\sin ui\phi =& ui\sinh \phi\\
\cosh ui\theta =& \cos \theta\\
\sinh ui\theta =& ui\sin \theta\\
\end{align*}
$$
冪単×虚数=冪単負の性質
新しい数 冪単負ü=uiの導入
上の4本の関係式は、$${ui=\"u}$$とすると対称性が更に鮮明になる。
$$
\begin{align*}
\cos \"u\phi =& \cosh \phi\\
\sin \"u\phi =& \"u\sinh \phi\\
\cosh \"u\theta =& \cos \theta\\
\sinh \"u\theta =& \"u\sin \theta\\
\end{align*}
$$
この数を、仮に冪単負（$${unnegpotent}$$）と呼ぼう。記号$${\"u}$$は、ドイツ語の$${i}$$と$${u}$$合字（ウムラウト）に由来する。
冪単負の性質を調べる
定義より直ちに、$${ui=\"u}$$。
$${u}$$を乗じると、$${u \cdot \"u=u \cdot ui =u^2 i =i}$$。
$${i}$$を乗じると、$${i \cdot \"u=i \cdot ui = i^2 u= -u}$$。
二乗して、$${\"u^2=ui \cdot ui = u^2 i^2 = -1}$$。
三数の積 $${u \cdot i \cdot \"u }$$も同様に$${-1}$$となる。
以上より、次の性質が言える。
$${\"u}$$は$${i}$$と同じく二乗するとマイナス1となるので、単体では虚数単位と同等の機能を有する。但し、$${u}$$を乗じると$${i}$$に、$${i}$$を乗じると$${-u}$$になる。
つまり、$${\"u}$$を$${i}$$の代わりに使用しても原則支障はない。
尚、この数の組み合わせは、異なる点は多いものの、ハミルトンの四元数を想起させる。実際、$${u,i,\"u}$$の三つの数の間で以下の関係性が見出せる。
$$
\begin{align*}
u \cdot i & \to \"u,\\
i \cdot \"u & \to -u,\\
\"u \cdot u & \to i
\end{align*}
$$
冪単$${u}$$や冪単負$${\"u}$$は、形式上の対称性を実現するものの、その性質の解明や、虚数角・複素数角・冪単角・冪単負の持つ本質的な意味の探究は次稿へ譲る。