【さんすう雑学】魔法みたいな魔方陣④ -in中学入試(応用技)-
たても，横も，ななめも，一列の合計が等しくなる魔方陣。
①，②ではお手軽な作り方，③では中学入試での出題例，および基本となる解き方について扱いました。
今回は，知っていると楽に解ける，お得な2つの性質について，見てまいります。
3×3魔方陣の性質 -その1-
真ん中の数は，それをはさんでいる2つの数の平均！
言葉だけだとイメージがわきにくいですね，実際にやってみましょう。
3×3魔方陣の性質 -その2-
すみっこの数は，反対側のすみっこに隣接する2つの数の平均！
さらにイメージがわき辛いですね…やはり，実際にやってみましょう。
まずは上のすみっこたちを。
もちろん，下のすみっこでも成り立ちます。
この "性質-その2-" は，使えると便利な場面が多い印象です。
例えば，前回扱った久留米大学附設中学 の 2018年度入試で出題された魔方陣でこの性質を活用してみましょう。
右上すみっこが6と判明していて，反対すみっこの両隣がXと2ですね。
ということは…！
前回の手間は何だったのか，というお手軽さで，X=10と求めることができました。
この性質が大活躍してくれる問題は他にもたくさんありまして。
慶應義塾中等部 の 2022年度入試で出題された次のような魔方陣も，その一例です。
in入試問題 -慶應義塾中等部(2022)-
9つのマスに数を1つずつ入れて，たて，横，斜めに並んだ3つの数の和がすべて等しくなるようにします。このとき，Aのマスにあてはまる数は何ですか。
先ほども使用した"性質-その2-"で，埋められるところを埋めていきましょう。まず左下！
さらに，下の辺の真ん中の数も，同じく"性質-その2-"で次のように求めることができます。
あとは，まだ活躍の場がなかった”性質-その1-”の出番です。
真ん中の数は，それをはさんでいる2つの数の平均！なので…
どちらも同じ数！
真ん中の数を求めて残りのマスを埋めていっても良いですし，
手っ取り早くAを求めるなら
76+52＝40+A ⇒ A＝88 とやっちゃっても良いかも。
まともに解くと結構大変な問題ですが，性質を活用すればだいぶ試験時間を節約できますね。
この2つの性質，なんで成り立つの？
事実さえ分かっていればとりあえず問題は解けますが，やはり理由は気になりますね。ちょっとばかり，証明というやつをやってみましょう。
まずは，真ん中の数を求めることができる"性質-その1-"から。
この証明には、魔方陣が魔方陣たるゆえんの，「1列の和が等しい」というステキ事実を使い倒せばオッケーです。
下の図のように，3列ぶんの和に注目します。
左の方は，ＡからＪまで1回ずつたして3列ぶんの和を作っています。
それに対し右の方は，ななめ1列を2回使っているせいで，ＢとＩ
が外れていますね。代わりに真ん中のＥが酷使されています…
式に表してみましょう。
Ａ+Ｂ+Ｃ+Ｄ+Ｅ+Ｆ+Ｈ+Ｉ+Ｊ＝Ａ+Ｃ+Ｄ+Ｅ+Ｅ+Ｅ+Ｆ+Ｈ+Ｊ
同じ記号がたくさん！さっくり消えて頂きましょう。Ａ+Ｂ+Ｃ+Ｄ+Ｅ+Ｆ+Ｈ+Ｉ+Ｊ＝Ａ+Ｃ+Ｄ+Ｅ+Ｅ+Ｅ+Ｆ+Ｈ+Ｊ
ずいぶんすっきりしました！
B＋I＝E＋E
というわけで，B＋Iを2で割ればEになることが示されました！
また、すみっこを求める"性質-その2-"も，同じ手順で理由を示すことができます。
3列の作り方を，先ほどからほんの少しいじってみると…！
今度は，すみっこのCが酷使されていますね…
式に表してみましょう。
Ａ+Ｂ+Ｃ+Ｄ+Ｅ+Ｆ+Ｈ+Ｉ+Ｊ＝Ａ+Ｂ+Ｃ+C+C+Ｅ+Ｆ+Ｈ+Ｊ
またまた同じ記号がたくさんですね！もちろん，さっくり消えて頂きます。Ａ+Ｂ+Ｃ+Ｄ+Ｅ+Ｆ+Ｈ+Ｉ+Ｊ＝Ａ+Ｂ+Ｃ+C+C+Ｅ+Ｆ+Ｈ+Ｊすっきりさっぱり。ラストも同じ流れです。
D＋I＝C＋C
というわけで，D＋Iを2で割ればCになることが示されます。
理由も含めて理解しておくと、しっかり頭に残りやすいですねー。