無限の井戸型ポテンシャルの因数分解法による解法

上の記事で因数分解法によるエルミート演算子の固有値問題の解法を示した。また、過去の記事で調和振動子、水素様原子の動径方向のハミルトニアン、ルジャンドルの陪微分方程式を因数分解法で解いてみた。

因数分解法が見通しのよい解法であることが分かってきたのだが、シュレディンガー方程式が容易に解ける無限の深さの井戸型ポテンシャルではどうなるか試してみる。

問題の確認

無限の井戸型ポテンシャル問題のハミルトニアン$${{H}}$$は

$$
\begin{array}{rcl}
H &=& \frac{p^2}{2m} + V(q) \\ \, V(q)
&=&
\begin{cases} 0 & (|q| < \frac{L}{2}) \\ \infty & (|q| \geq \frac{L}{2}) \end{cases}

\end{array}
$$

である。よって、このハミルトニアンの固有値と固有ベクトルが知りたければ、

$$
\begin{array}{l}
A_0 = p^2 + 2mV(q)
\end{array}
$$

の固有値問題を解けばよい。

因数分解

この演算子$${{A_0}}$$を因数分解して

$$
\begin{array}{rcl}
A_0 &=& \theta_0^\dagger \theta_0 + c_0^\mathrm{max}
\end{array}
$$

の形にするには

$$
\begin{array}{rcl}
\theta_0 &=& ip + \frac{\pi \hbar }{L} \tan (\frac{\pi}{L}q) \\
c_0 &=& (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \\
\end{array}
$$

とすればよい。これは

$$
\begin{array}{rcl}
\theta_0 &=& ip + f(q)
\end{array}
$$

と置いて地道に$${{\theta_0^\dagger\theta_0}}$$を計算し、$${{p = -i\hbar \frac{d}{dq}}}$$とすると$${{f(q)}}$$についての$${{1}}$$階の微分方程式が得られるので、これを解くことで$${{f(q) = \frac{\pi \hbar}{L} \tan(\frac{\pi}{L}q)}}$$と決定される。なお、この微分方程式はリッカチ型の非線型微分方程式になるので解くのがなかなか面倒である。

この$${{\theta_0}}$$でよいことを一応確かめておくと、$${{|q| < \frac{L}{2}}}$$のとき、

$$
\begin{array}{rcl}
A_0 &=& \theta_0^\dagger \theta_0 + c_0^\mathrm{max} \\
&=& p^2 + (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \tan^2(\frac{\pi}{L}q) - (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{L}q)} + (\frac{\pi \hbar }{L})^2\\
&=& p^2 + (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \tan^2(\frac{\pi}{L}q) - (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \lbrace 1+\tan^2(\frac{\pi}{L}q) \rbrace + (\frac{\pi \hbar }{L})^2\\
&=& p^2
\end{array}
$$

といった具合になっている。

因数分解部分をひっくり返す

因数分解部分をひっくり返すと、

$$
\begin{array}{rcl}
A_1 &=& \theta_0 \theta_0^\dagger + c_0^\mathrm{max} \\
&=& p^2 + (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \tan^2(\frac{\pi}{L}q) + (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{L}q)} + (\frac{\pi \hbar }{L})^2\\
&=& p^2 + (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \tan^2(\frac{\pi}{L}q) + (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \lbrace 1+\tan^2(\frac{\pi}{L}q) \rbrace + (\frac{\pi \hbar }{L})^2\\
&=& p^2 + 2 (\frac{\pi \hbar }{L})^2 \tan^2(\frac{\pi}{L}q) + 2 (\frac{\pi \hbar }{L})^2
\end{array}
$$

となる。$${{A_0}}$$と同じ要領で因数分解を試みると、

$$
\begin{array}{lcl}
\theta_1 &=& ip + \frac{2\pi \hbar}{L} \tan(\frac{\pi}{L}q) \\
c_1^\mathrm{max} &=& (\frac{2\pi\hbar}{L})^2 \\
\end{array}
$$

が得られる。以降は帰納的に

$$
\begin{array}{rcl}
\theta_j &=& ip + \frac{(j+1)\pi \hbar}{L} \tan(\frac{\pi}{L}q) \\
c_1^\mathrm{max} &=& \lbrace \frac{(j+1)\pi\hbar}{L} \rbrace^2 \\
\end{array}
$$

とできるので、$${{A_0}}$$のすべての固有値$${{a_n = c_n^\mathrm{max} = \lbrace \frac{(j+1)\pi\hbar}{L} \rbrace^2}}$$が求まった。

ハミルトニアン$${{H}}$$の固有値$${{\mathcal{E}_n}}$$にしたければ$${{2m}}$$で割ってやればよいので、

$$
\begin{array}{}
\mathcal{E}_n &=&\frac{1}{2m}\lbrace \frac{(j+1)\pi\hbar}{L} \rbrace^2\
\end{array}
$$

である。

波動関数

座標表示で$${{\theta_j \ket{\phi_j} = 0}}$$を考えると、

$$
\begin{array}{rcl}
\lbrack \hbar\frac{d}{dq}+ \frac{(j+1)\pi \hbar}{L} \tan(\frac{\pi}{L}q) \rbrack \braket{q \vert \phi_j} &=& 0
\end{array}
$$

となる。これを解くと、

$$
\begin{array}{rcl}
\braket{q \vert \phi_j} &=& \cos^{j+1}(\frac{\pi}{L}q)
\end{array}
$$

が得られる。積分定数は無視した。この$${{\braket{q \vert \phi_j} }}$$を用いて

$$
\begin{array}{ccc}
\braket{q \vert \psi_j} = \theta_0^\dagger \theta_1^\dagger … \theta_{j-1}^\dagger \braket{q \vert \phi_j}
\end{array}
$$

を求めれば、この$${{\braket{q \vert \psi_j}}}$$が$${{\mathcal{E}_j}}$$に対応する波動関数となっている。

ぼやき

井戸型ポテンシャルも因数分解法により解くことができたが、流石にシュレディンガー方程式を直接解いたほうが楽であることが分かった。