ピタゴラス数は３,４,５の倍数から成る

【定理１】
a²＋b²＝c² を満たす自然数 a , b , c のうち、どれかは３の倍数であり、どれかは４の倍数であり、どれかは５の倍数である。

　a²＋b²＝c² を満たす自然数 a , b , c の組み合わせを ピタゴラス数 と言います。

【例】
・ 3²＋4²＝5² では、3 が 3 の倍数で、4 が 4 の倍数で、5 が 5 の倍数。
・ 5²＋12²＝13² では、12 が 3 の倍数であり 4 の倍数でもある。
　また、5 が 5 の倍数である。
・ 8²＋15²＝17² では、15 が 3 の倍数であり 5 の倍数でもある。
　また、8 が 4 の倍数である。
　　　　　　　　　：

【証明１】
(A)　a , b , c がいずれも３の倍数でないと仮定すると、
　　a ≡ ±1 , b ≡ ±1 , c ≡ ±1（mod 3）より a² ≡ 1 , b² ≡ 1 , c² ≡ 1
　　このとき a²＋b² ≡ 2 となり、これは a²＋b² ≡ c² に矛盾する。
　　よって、a , b , c のいずれかは３の倍数である。

(B)　a , b , c がいずれも５の倍数でないと仮定すると、
　　a ≡ ±1 , ±2（mod 5）より a² ≡ 1 , 4 ≡ ±1　同様に b² ≡ ±1 , c² ≡ ±1
　　このとき a²＋b² ≡ ±2 , 0 となり、a²＋b² ≡ c² に矛盾する。
　　よって、a , b , c のいずれかは５の倍数である。

(C)　a , b , c がいずれも４の倍数でないと仮定すると、
　　(4n±1)² ＝ 16n²±8n+1 ≡ 1（mod 8）
　　(4n+2)² ＝ 16n²+16n+4  ≡ 4（mod 8）より
　　a²＋b² ≡  2 , 5 , 0 であり、c² ≡ 1 , 4 であるが、
　　　　　これは a²＋b² ≡ c² に矛盾する。
　　よって、a , b , c のいずれかは４の倍数である。

※　高校数学Ａの合同式を使った。
　　(C) では「mod 4」ではなく「mod 8」でやるのがミソ。

【定理２】
　自然数 a , b , c が互いに素であり、かつ a²＋b²＝c² を満たすとき、a , b , c の中に３の倍数・４の倍数・５の倍数がちょうど１つずつある。
　また、このうち３の倍数は a , b のどちらかで、４の倍数は a , b のどちらかである。５の倍数は a , b に限らず、c の可能性もある。

【証明２】
(A')　┌ n ≡ 0（mod 3）のとき n² ≡ 0（← n は 3 で割り切れる数）
　　  └ n ≡ ±1（  〃  ）のとき n² ≡ 1　（← n は 3 で割り切れない数）
　　a²＋b² ≡ c² を満たすのは、(a , b , c) ≡ (0 , 0 , 0) を除いて
　　(a , b , c) ≡ (0 , ±1 , ±1) , (±1 , 0 , ±1) の場合で、
　　　　このとき a²＋b² ≡ c² ≡ 1（mod 3）となる。
　　∴　a , b のどちらか一方だけが３の倍数で、他２つは３の倍数でない。

(B')　┌ n ≡ 0（mod 5）のとき n² ≡ 0（← 5 で割り切れる数）
　　  ├ n ≡ ±1（  〃  ）のとき n² ≡ +1（← 5 で割って 1 または 4 余る数）
　　  └ n ≡ ±2（  〃  ）のとき n² ≡ 4 ≡ −1（← 5 で割って 2 or 3 余る数）
　　a²＋b² ≡ c²（  〃  ）を満たすのは、(a , b , c) ≡ (0 , 0 , 0) を除いて
　　(a² , b² , c²) ≡ (0 , ±1 , ±1) , (±1 , 0 , ±1) , (±1 , ∓1 , 0)（複号同順）
　　∴　a , b , c のうち１つだけが５の倍数で、他２つは５の倍数でない。

(C')　┌ (2n)² ＝ 4n²　　　　　　　（← 偶数² は４の倍数）
　　  └ (2n+1)² ＝ 4n²＋4n＋1　　 （← 奇数² を４で割ると 1 余る）
　　a²＋b² ＝ c² を満たすのは「a , b , c がすべて偶数」の場合を除いて、
　　(a , b , c) ＝ (偶 , 奇 , 奇) , (奇 , 偶 , 奇) の場合。
　　すなわち、a , b のどちらか一方だけが偶数で、他２つは奇数である。
　　上記【証明１】の (C) と合わせて、
　　「a , b のどちらか一方だけが４の倍数で、他２つは４の倍数でない」ことがいえる。

※　(C') では、偶数と奇数に分けて考えた。つまり「mod 4」の問題を「mod 2」でやった。
　その中で (C) を使ったが、(C) では「mod 4」の問題を「mod 8」でやった。
　3 と 5 は素数だから良かったが、4 は合成数なので何かと工夫が要る。

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〜 考えるための数学問題集 〜
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