天秤ばかりのおもりは、なぜ２進法なのか？

　いきなりですが、【問題】です。

天秤ばかりで 1g から 120g まで 1g 単位で重さを測るには、
おもりは最低何個必要でしょうか？

　普通に考えれば、答えは次のようになるでしょう。

1g , 2g , 4g , 8g , 16g , 32g , 64g の 7 個

　このことは ２進法 で表記するとすっきりします。1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 を２進法で表すと 1(2) , 10(2) , 100(2) , 1000(2) , 10000(2) , 100000(2) , 1000000(2) です。この７個の数のいくつかを足すと、２進法表記の 0000001(2) から 1111111(2) までのすべての整数を表せます。そのことを 10 進法で表すと、「1g から 127g まで 1g 単位で表せる」ということになります。

　と書いてはみたものの、実はもっと少ない個数でできるんです。つまり、上の答えは × です。というのは、「おもりを片方の皿にだけ乗せる」ならそれで ○ なんですが、「両方の皿におもりを乗せても良い」なら答えは変わってきます。
　たとえば、1g のおもりを右の皿に、3g のおもりを左の皿に乗せれば、右の皿に 2g の物を乗せたときに天秤は釣り合います。 つまり 1g のおもりと 3g のおもりで 2g の重さを測れることになります。 もちろん 1g のおもりと 3g のおもりを同じ側の皿に乗せれば 4g の重さを測れます。つまり「1g と 3g のおもりがあれば、1g から 4g まで 1g 単位で重さを測ることができる」ことになります。
　では、その次の重さ、つまり 5g を測るには、何g のおもりを用意すればいいでしょうか。5g のおもりではありません。要するに、差が 5g になればいいのですから、次に必要なのは 9g のおもりです。右の皿に 1g と 3g の２つのおもりを乗せ、左の皿に 9g のおもりを乗せれば、5g を測れますね。そしてこのとき「1g と 3g と 9g のおもりで 1g から 13g まで 1g 単位で測れる」ことになります。（←ちょっと確認してみてください）
　この考え方をさらに進めていくと、9g の次に必要なおもりは 27g で、そのまた次に必要なおもりは 81g となります。そしてこのとき「1g , 3g , 9g , 27g , 81g の５つのおもりで 1g から 121g まで 1g 単位で測れる」ことになります。というわけで、先ほどの【問題】の答えは、

1g , 3g , 9g , 27g , 81g の 5 個

です。
　みなさん、もうお気づきですね。おもりを片方の皿に乗せる場合は「2 の 0 乗 , 2 の 1 乗 , 2 の 2 乗 , 2 の 3 乗 …」のように「2 の n 乗」g のおもりを用意すればよいのに対して、おもりを両方の皿に乗せてよいなら「3 の 0 乗 , 3 の 1 乗 , 3 の 2 乗 , 3 の 3 乗 …」のように「3 の n 乗」g のおもりを用意すればよいということです。
　天秤ばかりのおもりは、なぜ ２進法 なのか？　いえいえ、３進法 でもいいんです。

◇　　　　　　◇　　　　　　◇

　　　　　　　〜 デジタルの仕組み 〜
　　　▷ ２のｎ乗のザックリ計算
　　　▷ エクセルの限界に挑む
　　　▷ 天秤ばかりのおもりは、なぜ２進法なのか？