page.11 矛盾

喧嘩ないし論争を考察することと，論理を考えることは親和性が高い。そして，論理を考える上で，“矛盾”という概念は避けて通れない。

本項ではこの“矛盾”をつぎのように定義しよう。すなわち，任意の命題Aが矛盾しているとは，Aを真にする解釈が──その解釈の関数空間上に──存在し得ないようなAの論理構造を指す。

（本項では，解釈 I によって，命題 P に ⊤ が対応付けられることを I(P)=⊤ と表現する。）

たとえば， A↔︎(P∧¬P) であるとして，さらに I(P)=⊤ となるような解釈 I を考えよう。このとき A↔︎(⊤∧⊥) であり，連言の真理関数的性質に照らして，I(A)=⊥ となる。

さらに， P∧¬P に対してあり得るもう一つの解釈として， l’(P)=⊥ となるような解釈 I’ を考えよう。このとき， A↔︎(⊥∧⊤) となり， I’(A)=⊥ であることがわかる。

2値論理（真理値を二つの値とするような体系）において， P に対応する真理値が ⊤ であったとしても ⊥ であったとしても，命題Aの構造 (P∧¬P) は ⊥ を演算することがわかった。このようなとき，命題 A は矛盾しているという。

次に， A の論理構造が， (P→Q)∧(P→¬Q) である場合を考えてみよう。このようなときの A は，「同じ前件から，それぞれ矛盾の関係にある命題が導かれる」と読むことができる。これを矛盾するように見る人は少なくないかも知れないが，その実はどうだろうか。

先の例 (P∧¬P) では，登場する原始命題（その論式に於いて，これ以上分解されない命題。なんの論理結合子も用いられていない命題。）は P のみの一種類であった。そして，この1種類に対して2値の真理値を対応させるため，先の例に対して考えられる解釈は，── P に ⊤ を対応させる解釈と， ⊥ を対応させる解釈の──2つであった。

しかし今回の例 (P→Q)∧(P→¬Q) に登場している原始命題は， P だけではなく， Q も存在している。2種類の原始命題それぞれに，二値の真理値を対応させるパターン（解釈）は 2*2=4 の4通りである。 つまり，このように原始命題が2種の式に対して，その関数空間は，4つの解釈（命題変項から真理値への関数）から成っている。

一般に，解釈の数については次のことが言える。すなわち，原始命題の種類数 n と，真理値の種類数（普通は2値だが，一応） m に対して，その式に対して考えられる解釈の数は m^n 種である。

（本書は，一般的な論理として2値の命題論理を主に取り扱うので， 2^n だと認識していただいても差し支えない。）

n 種の原始命題と， m 種の真理値をもつ任意の命題 A が，その m^n 種の解釈のすべてに対して ⊥ を演算する場合，そして，そのような場合に限って，Aは矛盾しているという。

そこで， (P→Q)∧(P→¬Q) の解釈は，次の4通りであることがわかる。

命題変項 P/Q解釈1 ⊤/⊤解釈2 ⊤/⊥解釈3 ⊥/⊤解釈4 ⊥/⊥

(P→Q)∧(P→¬Q) に対して，それぞれの命題変項を解釈1に従って真理値に置き換えると， (⊤→⊤)∧(⊤→⊥) となる。この式は， ⊤→⊤ と ⊤→⊥ が連言で結びついた形をしている。そこで，連言 A∧B とは，A,Bのいずれもが ⊤ のときに ⊤ であり，そうでないとき以外は ⊥ を演算する真理関数であった。

そこで， ⊤→⊤ と ⊤→⊥ のいずれもが ⊤ になるときは， (⊤→⊤)∧(⊤→⊥) が ⊤ となり，いずれかが ⊥ であったときは， (⊤→⊤)∧(⊤→⊥) は⊥となることがわかる。すなわち，解釈1のもとで (P→Q)∧(P→¬Q) がどのような真理値を持つのかを導出することができる。

そこで，まずは ⊤→⊤ が真になるかどうかを考えてみよう。これは条件法の形をしているので，条件法の真理関数的性質を考える。条件法 A→B は，Aが ⊤ かつBが ⊥ のときのみ ⊥ であり，それ以外のときは ⊤ を演算する真理関数であった。 ⊤→⊤ は前件が ⊤ であるため，後件もみなくてはならない。後件が ⊥ であれば条件法が ⊥ を演算する十分条件に抵触するところであったが，どうやら解釈1のもとでは後件も ⊤ をとるようなので，条件法 ⊤→⊤ は ⊤ である。このように，解釈1によって P→Q が真となることを， [P→Q]1=⊤ とも表現する。

同様に， ⊤→⊥ を考えると，こちらはまさに条件法が ⊥ を演算する唯一の条件そのものであるから，この条件法の真理関数からは ⊥ が演算される。よって， [P→¬Q]1=⊥ である。

そうして， (⊤→⊤)∧(⊤→⊥) は ⊤∧⊥ を演算する。

そして， ⊤∧⊥ は，連言の真理関数より， ⊥ を導出する。

以上の考え方によって， [(P→Q)∧(P→¬Q)]1=⊥ である。

同様の作業を解釈2~4についても行うと，それぞれ次のようになる。

[(P→Q)∧(P→¬Q)]1=⊥ [(P→Q)∧(P→¬Q)]2=⊥[(P→Q)∧(P→¬Q)]3=⊤[(P→Q)∧(P→¬Q)]4=⊤

このような結果から，前提が ⊥ の場合には，矛盾を導ける（矛盾からは任意の命題が導かれる。）ことがわかる。ちなみに，このような理屈を爆発律などと呼ぶことがある。

解釈1~4のうち（すなわち，与式を解釈する関数空間において）与式を ⊤ に解釈するものが存在した。従って，与式は矛盾しない。

解釈2~4については，本項で行った解釈1を考えたときの容量を参考にして，是非とも各々で計算式を書いてみてもらいたい。

実際にペンを握って，意味を意識しながら論理式を書くと，その構造を理解し易く，ひじょうに力がつき易い。一度でも良いので，どうか試してみていただきたい。

可能な限りの解釈のいずれによっても ⊥ を演算するような式は，矛盾している。

矛盾している式を，恒偽式とも呼ぶ。