【浮力】 ヘリウムでどれだけの浮力を得られるのかの具体的な計算(4択クイズ形式)
問題
系の状態は標準状態$${25[°C],\ 1013[hPa]}$$とする。
1. ヘリウムガスをナイロンポリ袋に入れると浮く(スーパーでロール状に設置され提供されている薄い袋で重さは1グラム,容積は1.5リットルとする。)
2. ヘリウムガスをアルミ缶(重さ15グラム.容積は350ミリリットル)に入れると浮く
3.ヘリウムガスを500ミリリットル ペットボトルに入れると浮く(重さは15グラムとする)
4.ヘリウムガスを2リットル ペットボトルに入れると浮く(重さは30グラムとする)
上記のうちで正しいものを全て選んでください
答え
1のみ
理論
理想気体の状態方程式を立てて議論すれば良い。
ヘリウムガスは単原子分子でモル質量は$${4[g\cdot mol^{-1}]}$$
理想気体の状態方程式より、
$$
p=\rho_{mol} RT\\ \ \\
\Leftrightarrow \rho_{mol} = \frac{p}{RT} \cdots (1)
$$
質量密度$${\rho_{mass}[g\cdot m^{-3}]}$$とモル密度$${\rho_{mol}[mol\cdot m^{-3}]}$$との関係式は、モル質量$${m_{mol}[g\cdot mol^{-1}]}$$を用いて、
$$
\rho_{mass} = \rho_{mol}\times m_{mol}
$$
となるので、$${(1)}$$より、
$$
\rho_{mol} = \frac{p}{RT} \\ \ \\
\Leftrightarrow \rho_{mol} n_{mol} = \frac{p}{RT} n_{mol} \\ \ \\
\Leftrightarrow \rho_{mass} = \frac{p}{RT} n_{mol}
$$
標準状態におけるヘリウムの質量密度
ヘリウムの場合、モル質量は
$$
n_{mol} = 4[g\cdot mol^{-1}] = 4\times 10^{-3}[kg\cdot mol^{-1}]
$$
であることに注意して計算を行うと、質量密度は
$$
\rho_{mass,helium} = \frac{p}{RT} n_{mol} = \frac{1013\times 100}{8.314\times 298}\times 4\times 10^{-3}\fallingdotseq 0.1635 [kg\cdot m^{-3}]
$$
標準状態における空気の質量密度
空気の場合モル質量は窒素:酸素の割合を4:1として、
$$
n_{mol} = 28.8[g\cdot mol^{-1}] = 28.8\times 10^{-3}[kg\cdot mol^{-1}]
$$
であることに注意して計算を行うと、質量密度は
$$
\rho_{mass, atomos} = \frac{p}{RT} n_{mol} = \frac{1013\times 100}{8.314\times 298}\times 28.8\times 10^{-3}\fallingdotseq 1.1775 [kg\cdot m^{-3}]
$$
となる。
容器及びヘリウム気体に働く力について
ヘリウム気体の体積を$${V[m^3]}$$とすると、浮力$${f[N]}$$はアルミメデスの原理により、押し除けた空気の体積分の重さであるから、$${f= \rho_{mass, atomos}\times Vg\ [N]}$$となる。
一方、ヘリウム気体に働く重力と容器自体(質量を$${m}$$とする)に働く重力がそれぞれ下向きに$${F=\rho_{mass, helium}\times Vg\ [N]}$$, $${mg}$$あるので、合力は上向を正として
$$
f -F -mg = \Bigl((\rho_{mass, atomos} - \rho_{mass, helium})\times V - m \Bigr)g
$$
となる。
容器及び気体に働く力の合力の計算(上向き正)
ここで
1.ナイロンポリ袋(容積1.5リットル)
2.アルミ缶(容積350ミリリットル
3.500ミリリットル ペットボトル
4.2リットル ペットボトル
それぞれについて合力の値を計算する。
上向きを正としているので合力の計算値が0より大きければ浮く。
$${1}$$リットル=$${1\times 10^{-3}[m^3]}$$に注意して、
1. ナイロンポリ袋に働く合力
$$
f -F -mg = \Bigl((\rho_{mass, atomos} - \rho_{mass, helium})\times V -m\Bigl)g\\ \ \\
= \Bigr((1.1775 -0.1635)\times1.5\times 10^{-3} - 1.0 \times 10^{-3} \Bigr) \times9.8 \\ \ \\
\fallingdotseq 0.005[N] > 0\ [N]
$$
2. アルミ缶に働く合力
$$
f -F -mg = \Bigl((\rho_{mass, atomos} - \rho_{mass, helium})\times V -m\Bigl)g\\ \ \\
= \Bigr((1.1775 -0.1635)\times350\times 10^{-6} - 15\times 10^{-3} \Bigr) \times9.8 \\ \ \\
\fallingdotseq -0.144 < 0\ [N]
$$
3. 500ミリリットル ペットボトルに働く合力
$$
f -F -mg = \Bigl((\rho_{mass, atomos} - \rho_{mass, helium})\times V -m\Bigl)g\\ \ \\
= \Bigr((1.1775 -0.1635)\times 500\times 10^{-6} - 15\times 10^{-3} \Bigr) \times9.8 \\ \ \\
\fallingdotseq -0.142 [N]< 0\ [N]
$$
4. 2リットルペットボトルに働く合力
$$
f -F -mg = \Bigl((\rho_{mass, atomos} - \rho_{mass, helium})\times V -m\Bigl)g\\ \ \\
= \Bigr((1.1775 -0.1635)\times2\times 10^{-3} - 30\times 10^{-3}\Bigr) \times9.8 \\ \ \\
\fallingdotseq -0.274[N]< 0
$$
よって、合力が上向きに働いているのは1のみであり、2,3,4は浮かない。
実際に実験をして遊びたい方用
下記で実験可能だが、実験で楽しく遊んでいると本っっ当に一瞬で無くなる & 1000円くらいします。それでもよければどうぞ笑