【等速円運動】 運動方程式で月までの距離を概算する(月の運動は等速円運動で近似)
認め、使用する物理定数やデータと使用しないもの
使用するデータは下記の通り。
地球半径:$${\displaystyle 2\pi r\ = 40000 [km]}$$(既知とする)
月の公転周期:$${\ T =30\ [days]}$$(既知とする。より正確には、$${27.3\ [days]}$$)
地球１周:$${\ 2\pi r = 4\times 10^7\ [m] }$$(既知とする)
地上の重力加速度:$${\ g = 9.8\ [m \cdot s^{-2}]}$$(既知とする)
下記は未知とする。(言い換えると、未知でも月までの距離の理論値は計算可能である。)
地球と月の距離:$${\ R\ [m]}$$(未知とする)
月の質量:$${\ m\ [kg]}$$(未知とする)
万有引力定数:$${\ G\ [m^3 \cdot kg^{-1} \cdot s^{-2}]}$$(未知とする)
月の速さ:$${\ v\ [m\cdot s^{-1}]}$$(未知とする)
地球の質量:$${\ M\ [kg]}$$(未知とする)
等速円運動の式
上記の条件のもと、
運動方程式(等速円運動)
$$
\frac{mv^2}{R} = \frac{GMm}{R^2}
$$
$${\displaystyle v = \frac{2\pi R}{T}}$$より
$$
\begin{align*}
\Leftrightarrow \frac{m4\pi^2 R}{T^2} &= \frac{GMm}{R^2}\\
R^3 &= \frac{GMT^2}{4\pi^2}\ \ \cdots(1)
\end{align*}
$$
重力加速度
地上の重力加速度が$${g}$$であることから、地上での任意の物体の質量を$${m_E}$$とすると、
$$
m_{E} a = \frac{GMm_E}{r^2} \\
\Leftrightarrow \ \ a = \frac{GM}{r^2}
$$
この加速度$${a}$$は重力加速度に他ならない。すなわち、
$$
g = \displaystyle { \frac{GM}{r^2}}
$$
が成り立つ。$${GM=}$$の形にすると
$$
GM = gr^2\ \ \cdots(2)\\
$$
よって、(1)(2)式を連立すると、
$$
\begin{align*}
R^3 &= \frac{gr^2T^2}{4\pi^2}\\
R &= \sqrt[3]{\frac{gr^2T^2}{4\pi^2}}\ \ \cdots(3)
\end{align*}
$$
月の公転周期,地球半径.重力加速度の数値を(3)式に代入して計算すると、
$$
\begin{align*}
R &= \sqrt[3]{\frac{gr^2T^2}{4\pi^2}} \\
&= \sqrt[3]{{9.8 \times \Bigr( \frac{4\times 10^7}{2\pi}\Bigl)^2 (30\times 24\times 60 \times 60)^2\frac{1}{4\pi^2}}} \\
&\fallingdotseq 4.07 \times 10^8\ [m]
\end{align*}
$$
すなわち理論値は、約$${40.7}$$万$${[km]}$$
誤差は、$${\displaystyle \frac{40.7-38.4}{38.4} = \frac{2.3}{38.4} \fallingdotseq 0.06 = 6 \%}$$程度となった。
月の満ち欠けは約29.5日と比較的、30日に近いが、実は月の公転周期は地球自体が太陽の周りを回っている関係で、実は満ち欠けの周期とはズレがある。
より正確な月の公転周期の値27.3日を使って計算を行うと、
$$
\begin{align*}
R &= \sqrt[3]{\frac{gr^2T^2}{4\pi^2}} \\
&= \sqrt[3]{{9.8 \times \Bigr( \frac{4\times 10^7}{2\pi}\Bigl)^2 (\textcolor{red}{27.3}\times 24\times 60 \times 60)^2\frac{1}{4\pi^2}}} \\
&\fallingdotseq 3.82 \times 10^8\ [m]
\end{align*}
$$
すなわち、理論値は$${\fallingdotseq 38.2\ [}$$万$${km]}$$
誤差は$${\displaystyle \frac{38.4-38.2}{38.4} = \frac{0.2}{38.4} \fallingdotseq 0.005 = 0.5\%}$$程度となった。