円錐振り子の周期の理論値と実験による測定方法
この記事で伝えたいこと
・上図の振り子の設定で、円錐振り子の周期は$${\displaystyle T = 2\pi \sqrt {\frac{L \cos \theta }{g}}\ [s]}$$となる。
・具体的に糸の長さを$${1.0\ [m],\ }$$$${\theta = 30^\circ }$$として理論値の計算を行うと、円錐振り子の周期は$${1.4\ [s]}$$。
・円錐振り子の周期の理論値と実験による測定値をぜひ照合して遊んでみてください👍
理論
下記命題の証明を行う。
[命題]
図1の条件設定(円錐振り子,錘は水平に等速円運動)しているとすると、錘の周期は
$${\displaystyle T = 2\pi \sqrt {\frac{L \cos \theta }{g}}\ [s]}$$
証明:
物体に働く鉛直方向の力は釣り合っているので、糸の張力を$${T \ [N]}$$として
$$
mg = T \cos \theta \\ \ \\
T = \frac{mg}{\cos \theta} \ \cdots (1)
$$
物体が等速円運動しているとすると、円の半径は$${r = L \sin \theta \ [m]}$$であるので、運動方程式より
$$
m\frac{v^2}{r} = T\sin \theta \\ \ \\
\Leftrightarrow m\frac{v^2}{L \sin \theta } = T\sin \theta \ \cdots (2) \\ \ \\
$$
$${(1)}$$を$${(2)}$$に代入して、
$$
m\frac{v^2}{L \sin \theta } = mg\frac{ \sin \theta }{\cos \theta} \\ \ \\
\Leftrightarrow \frac{v^2}{L \sin \theta } = g \tan \theta \\ \ \\
\Leftrightarrow v^2 = g L \sin \theta \tan \theta \\ \ \\
\Leftrightarrow v = \sqrt{g L \sin \theta \tan \theta} \ [m\cdot s^{-1}] \ \cdots (3)
$$
ここで円錐振り子の周期は、$${\displaystyle T = \frac{2\pi r}{v} \ [s]}$$で表せるので、結局$${(3)}$$より、
$$
T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi L \sin \theta }{\sqrt{g L \sin \theta \tan \theta}} = 2\pi \sqrt {\frac{L \sin \theta }{g \tan \theta}} = 2\pi \sqrt {\frac{L \cos \theta }{g}} \ [s]
$$
Q.E.D
具体的な理論値計算
糸の長さを$${1.0\ [m]}$$、$${\theta = 30^\circ }$$として円錐振り子の実験を行うと周期は
$$
T = 2\pi \sqrt {\frac{L \cos \theta }{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{1.0}{2\times 9.8}} \fallingdotseq 1.4 \ [s]
$$
実験の方法
1. 糸を$${100\ cm}$$の長さに測って切る
2. 何かしらの少し重さのある錘を糸の先端に付ける
3. 腕の長さを測る($${a\ [cm]}$$とする)
4. 上図のようにくるくる錘をできるだけ等速で回す
5. (誤差を少なくするため)$${30}$$回転するまでの時間を測る
6. $${30}$$で割って周期$${T\ [s]}$$を求める
実験結果
大体$${30}$$回で$${50}$$秒前後になりました。
$${30}$$周期で$${50 \ [s]}$$とすると1周期は約$${1.66\ [s]}$$。
滑らかに回せていないとタイムロスしている感じがします。
最後に一言
簡単に実験できるのでやってみてね👍