【熱力学】 富士山頂の気圧の具体的な理論計算
この記事で言いたい事
今回の記事では
・空気の力のつり合いの式
・理想期待の状態方程式
・国債標準大気モデル
の3つを仮定し、富士山頂の気圧の理論値が$${636\ [hPa]}$$と計算でき、参考サイト(又は検索で出てくる)値$${630\ [hPa]\ }$$と比較すると、とても良い精度となっていることを確認する。
こちらのサイトによると、富士山頂の気圧は$${630\ [hPa]}$$程度らしい。
登場する記号の定義
標高$${0}$$の地点を$${z=0\ [m]}$$とする。
$${z\ [m]\ :\ }$$標高0の地点からの高度
$${p(z)\ [hPa]\ :\ }$$高度$${z\ }$$における圧力
$${S\ [m^2]\ :\ }$$考える空気の塊の水平方向の断面積
$${g=9.8\ [m\cdot s^{-2}]\ :\ }$$重力加速度
$${\Delta z\ [m]\ :\ }$$考える空気の塊の鉛直方向の幅
$${T(z)\ [K]\ :\ }$$高度$${z}$$における温度
$${R=8.314\ [kg\cdot m^2\cdot s^{-2}\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}]:\ }$$気体定数
$${n_m=28.8\cdot 10^{-3}\ [kg\cdot K^{-1}]\ :\ }$$空気のモル質量
$${\rho_m(z)\ [mol\cdot m^{-3}]\ :\ }$$高度$${z}$$におけるモル密度
$${\rho_(z)\ \ [kg \cdot m^{-3}]\ :\ }$$高度$${z}$$における質量密度
理論値計算
力のつり合い
下向きを正として、静止している空気の塊について、力のつり合いの式を立てると、
$$
\ \ \ \ \ \ \ \Bigl( p(z+\Delta z)-p(z) \Bigr) S + \rho(z)\ S\Delta z\ g=0\\ \ \\
\Leftrightarrow \frac{p(z+\Delta z)-p(z)}{\Delta z} = -\rho(z)g \ \ \cdots \ \ (1)\\ \ \\
$$
$${\Delta z \rightarrow0}$$の極限を取ると、
$$
(1) \ \Leftrightarrow\ p'(z) =- \rho(z)g\ \ \\ \ \\
\ \ \Leftrightarrow\ \rho(z)=-\frac{p'(z)}{g}\ \ \cdots \ (2)
$$
理想気体の状態方程式
理想気体の状態方程式より
$$
p(z)=\rho _m(z)RT(z)
$$
が成り立ち、質量密度とモル密度の間の関係式、$${n_m \rho_m(z)=\rho(z)}$$に注意すると、
$$
\ \ \ \ \ \ \ p(z)=\rho _m(z)RT(z)\\ \ \\
\Leftrightarrow p(z)=\frac{\rho (z)}{n_m}RT(z)\ \cdots \ (3)
$$
$${\diamondsuit,\ \heartsuit}$$を連立して、
$$
\begin{cases}
\displaystyle\rho(z)=-\frac{p'(z)}{g}\ \cdots \ (2) \\ \ \\
\displaystyle p(z)=\frac{\rho (z)}{n_m}RT(z)\ \cdots \ (3)
\end{cases}
\ \ \Rightarrow\ \ \displaystyle p(z)=-\frac{p'(z)}{n_m g}RT(z)\ \cdots (4)
$$
国際標準大気モデルの適用
ここで、国際標準大気モデルを適用し、気圧は$${1013\ [hPa]}$$で、気温は$${T_0 = 15\ [℃]= 288\ [K]}$$、気温減率(高度が上がるにつれての気温低下の割合) $${k=6.5 \cdot 10^{-3}\ [℃/m]}$$とすると、
$$
T(z)=T_0-kz\ [K]
$$
となる。これを方程式$${(4)}$$に適用すると、
$$
p(z)=-\frac{p'(z)}{n_mg}R(T_0 - kz)\\ \ \\
\Leftrightarrow -\frac{n_mg}{R(T_0 - kz)}=\frac{p'(z)}{p(z)}\ \cdots\ (5)\\ \ \\
$$
ここで$${(5)}$$を$${z=0\sim w}$$まで定積分すると
$$
\ \ \ \ \ \ -\int_0^w \frac{n_mg}{R(T_0 - kz)}dz=\int_0^w \frac{p'(z)}{p(z)}dz\\ \ \\
\Leftrightarrow \Bigl[ \frac{n_mg}{kR}\log (T_0 - kz) \Bigl]_0^w=\Bigl[ \log p(z)\Bigl]_0^w\\ \ \\
\Leftrightarrow \frac{n_mg}{kR} \Bigl(\log (T_0 - kw)- \log T_0 \Bigr) = \log p(w)-\log p(0)\\ \ \\
\Leftrightarrow\log p(w)=\log p(0) + \frac{n_mg}{kR} \log \frac{T_0 - kw}{T_0} \\ \ \\
\Leftrightarrow \displaystyle \log p(w)= \log p(0) \Bigl( \frac {T_0 - kw}{T_0}\Bigr)^{\frac{n_mg}{kR}} \\ \ \\
\Leftrightarrow p(w) = p(0) \Bigl( \frac{T_0 - kw}{T_0} \Bigr)^{\frac{n_m g}{kR}}
$$
$${T_0,k,R,n_m,g}$$にそれぞれの具体的な数値を代入し、さらに富士山の高さ$${w=3776\ [m]}$$を代入すると、
$$
p(3776) = 1013\times \Bigl( \frac{288 - 6.5\times 10^{-3} \cdot 3776}{288} \Bigr)^{\frac{28.8\times 10^{-3}\times 9.8}{6.5\cdot 10^{-3}\times8.314}}\ \ [hPa]\\ \ \\
\fallingdotseq 1013\times \Bigl( \frac{263.456}{288}\Bigr)^{5.22} \fallingdotseq 636\ [hPa]
$$
これは検索で出てくる値$${630\ [hPa]}$$と比較すると、かなり良い精度となっていると感じたので記事としてまとめておいた。