ハッピーセットを数学する 〜全種類のおもちゃ制覇に必要な金額の期待値〜
こんにちは！のりだよ〜⬛️(´▽｀)
人は誰しも「ハッピーセットで全種類のおもちゃを制覇するのにはいくらぐらいかかるんだろう、、、？」と一度は悩んだことがあるよね？私は無い。
と言うわけで、計算してみた！！
選ばれたおもちゃたち
本日の確率論の題材はこちら。
かわいく見えるが、1974年生まれの昭和の大御所である。
舐めたら消される。
今回注文する（と仮定した）ハッピーセット
小さいRは「ハッピーセット」が商標であることを示しているらしい
知らなかった
まあ、キリが悪いし、のりで1セット500円で計算する。
クーポンコレクター問題
「n個の排出率が等しいアイテムについて、全てガチャでゲットするのに必要な試行回数の期待値は？」
という問題として「クーポンコレクター問題」がある。
この問題の考え方として、他サイトの「コインが裏表の両方が出るまでのトスの試行回数の計算」(つまりn=2)の例が分かりやすかったので引用する。
* 1面目：1回振れば必ずどっちかが出る（厳密に言えば 2/2 の確率の逆数）
* 2面目：1回目で出た面じゃない面が出る確率は 1/2 、なので逆数の2回が期待値
これを足し算することで「表も裏も出る期待値」となります、1+2=3回です。（足し算していいのは「期待値の線形性」という性質があるからです）
2/2 + 2/1 = 3
これと同様に考え、回数の期待値 E(n)は以下の通りになる
E(n) = n/n + n/(n-1) + … + n/2 + n/1
ハッピーセットを揃える期待値は？
おもちゃは5種類なので
E(5) = 5/5 + 5/4 + 5/3 + 5/2 + 5/1
E(5) ≒ 11.4165
よって 11.4165個が購入数の期待値なので、
値段の期待値は
11.4165 × 500(円) ≒ 5700(円)
…こう考えると、結構いいお値段する。
まとめ
「そもそも複数個を同時に買ったら、被らないように配慮してくれるのでは？」と思った人。
…正しさは時に人を傷つけるので、思わないでください ×(´v｀)ﾊﾞﾂﾉﾘ
あと、全てのおもちゃの排出率が同じである、と前提を置いていたけれど、ハッピーセットには「ひみつのおもちゃ」という概念がある。「ひみつのおもちゃは」は排出率が低いと仮定した際の期待値についても、いつか気が向いたら書く。
参考文献
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