会社名は商標登録すべきか

商標とは、商品やサービスを区別するための識別子です。ですので、会社名であってもそれが商品やサービスの識別子として、顧客に認識されるような使い方をするのであれば、商標登録すべきです。なぜなら、会社名も、商品やサービスとしても識別子としての役割を果たすからです。
わかりやすい例としてはソニー株式会社は、テレビの商標として「BRAVIA」を使っています。この場合、「BRAVIA」の広告ページでは自社名を表す「SONY」を合わせて表示しています。
https://www.sony.jp/

このように、会社名ではあるものの、それがブランドとしても機能するような使用をするのであれば、商標として自社が確保しておくべきです。

一方、ビジネス形態において、会社名が表に出ずに、別のブランドだけを使う場合には、当然、商標の確保は不要です。例えば、「株式会社ABC」がレストラン「XYZ」を運営するとします。でも、レストランXYZのウェブサイトには、「株式会社ABC」または「ABC」（ロゴ化するしないにかかわらず）との表示は一切無いような場合です。

なお、商標法には、普通に用いられる方法であれば効力が及ばないという規定があります(商標法26条）。ですので、ウェブサイトに、住所とともに会社名を記載する場合は、この規定により、侵害の問題は生じません。
しかし、フォントなどを工夫するなどして、見栄えよくデザイン化する場合には、この規定で侵害とはならないかとはいえません。したがって、これに頼るのはリスクが高すぎます。