演習2.16, 演習2.17, 演習2.18, 演習2.19, 演習2.20
案内人の涼子です🔑
量子コンピュータと量子通信Ⅰ（ニールセン本）の演習問題の解答を作ったので共有します！
演習2.16
式(2.35)を用いて
$$
\begin{align*}
P^2 &= (\sum_{i=1}^k\ket{i}\bra{i}) (\sum_{i'=1}^k\ket{i'}\bra{i'}) \\
&= \sum_{i=1}^k\sum_{i'=1}^k \ket{i}\braket{i|i'}\bra{i'} \\
&= \sum_{i=1}^k\sum_{i'=1}^k \delta_{i,i'}\ket{i}\bra{i'} \\
&= \sum_{i=1}^k \ket{i}\bra{i} \\
&= P
\end{align*}
$$
よって示せた。
演習2.17
正規行列の固有値が実数である ⇒ 正規行列はエルミート行列である
行列$${A}$$を任意の正規行列であるとする。正規行列なので、対角化として
$$
A=\sum_i\lambda_i\ket{i}\bra{i}
$$
を持っている。($${\ket{i}}$$はVの正規直交基底で、各$${\ket{i}}$$は固有値$${\lambda_i}$$を持つとする。)
$$
\begin{align*}
A^\dag&=(\sum_i\lambda_i\ket{i}\bra{i})^\dag \\
&=\lambda_i^*\ket{i}\bra{i} \\
&= \lambda_i\ket{i}\bra{i} \\
&= A
\end{align*}
$$
よって、固有値が実数であるときのみ正規行列$${A}$$はエルミート行列である。
正規行列はエルミート行列である ⇒ 正規行列の固有値は実数である
行列$${A}$$を任意の正規行列でエルミート行列であるとすると、$${A}$$は対角化可能で、$${A^\dag=A}$$が成り立つ。正規行列なので、対角化として
$$
A=\sum_i\lambda_i\ket{i}\bra{i}
$$
を持っている。($${\ket{i}}$$はVの正規直交基底で、各$${\ket{i}}$$は固有値$${\lambda_i}$$を持つとする。)
$$
\begin{align*}
A^\dag&=(\sum_i\lambda_i\ket{i}\bra{i})^\dag \\
&=\lambda_i^*\ket{i}\bra{i} \\
&= A \\
&= \lambda_i\ket{i}\bra{i} \\
\end{align*}
$$
となり$${\lambda_i^*=\lambda_i}$$が成り立つので、正規行列$${A}$$の固有値は実数である。
演習2.18
行列$${U}$$をユニタリ行列とする。$${ U^\dag U=I }$$であることを用いて式変形していく。そのために、$${V}$$の正規直交基底$${\ket{i}}$$を用いて、$${U=\sum_i\lambda_i\ket{i}\bra{i}}$$として、$${\lambda_i}$$は固有値で、$${\ket{i}}$$はその固有ベクトルである。
$$
\begin{align*}
UU^\dag = I &⇔ (\sum_i\lambda_i\ket{i}\bra{i})(\sum_{i'}\lambda_i'\ket{i'}\bra{i'})^\dag = I \\
&⇔ (\sum_i\lambda_i\ket{i}\bra{i})(\sum_{i'}\lambda_{i'}^*\ket{i'}\bra{i'})= I \\
&⇔ \sum_i\sum_{i'}\lambda_i\lambda_{i'}^*\ket{i}\braket{i|i'}\bra{i'} = I \\
&⇔ \sum_i\sum_{i'}\lambda_i\lambda_{i'}^*\delta_{i, i'}\ket{i}\bra{i'} = I \\
&⇔ \sum_i\lambda_i\lambda_i^*\ket{i}\bra{i} = I \\
&⇔ \sum_i|\lambda_i|^2\ket{i}\bra{i} = \sum_i\ket{i}\bra{i} \\
\end{align*}
$$
と式変形でき、$${|\lambda_i|^2=1}$$より、ユニタリ行列のすべての固有値は絶対値が１になる事が言える。
固有値がある実数$${r, \theta}$$を用いて固有値を$${re^{i\theta}}$$とすれば、$${|re^{i\theta}|^2=1}$$を解くと、大きさの成分$${|r|=1}$$で、回す成分$${e^{i\theta}}$$は計算の過程で消える。$${r=1, r=-1}$$は$${\theta}$$で表現可能で、ユニタリ行列の固有値は$${ e^{i\theta}}$$で書くことができる。
演習2.19
$${I}$$については以下のように解く。
$$
\begin{align*}
I^\dag &= {\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}}^\dag \\
&= {\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}}^T \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= I \\
II^\dag &= I^\dag I = I
\end{align*}
$$
ゆえに$${I}$$はエルミート行列でユニタリーである。
$${X}$$については以下のように解く。
$$
\begin{align*}
X^\dag &= {\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}}^\dag \\
&= {\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}}^T \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
&= X \\
XX^\dag &= X^\dag X = X
\end{align*}
$$
ゆえに$${X}$$はエルミート行列でユニタリーである。
$${Y}$$については以下のように解く。
$$
\begin{align*}
Y^\dag &= {\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}}^\dag \\
&= {\begin{pmatrix}
0 & i \\
-i & 0
\end{pmatrix}}^T \\
&= \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} \\
&= Y \\
YY^\dag &= Y^\dag Y = Y
\end{align*}
$$
ゆえに$${Y}$$はエルミート行列でユニタリーである。
$${Z}$$については以下のように解く。
$$
\begin{align*}
Z^\dag &= {\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}}^\dag \\
&= {\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}}^T \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \\
&= Z \\
ZZ^\dag &= Z^\dag Z = Z
\end{align*}
$$
ゆえに$${Z}$$はエルミート行列でユニタリーである。
演習2.20
$${I}$$を挿入してみる。
$$
\begin{align*}
A'_{i, j} &= \bra{v_i}A\ket{v_j} \\
&= \bra{v_i}IAI\ket{v_j} \\
&= \bra{v_i}(\sum_{i'}\ket{w_{i'}}\bra{w_{i'}})A(\sum_{j'}\ket{w_{j'}}\bra{w_{j'}})\ket{v_j} \\
&= \sum_{i'}\sum_{j'}\braket{v_i|w_{i'}}\braket{w_{i'}|A|w_{j'}}\braket{w_{j'}|v_j} \\
&= \sum_{i'}\sum_{j'}\braket{v_i|w_{i'}}A''_{i,j}\braket{w_{j'}|v_j}
\end{align*}
$$
おわりに
以上、演習2.16～演習2.20の解説でした🔑