演習2.56, 演習2.57, 演習2.58, 演習2.59, 演習2.60
案内人の涼子です🔑
今回もやっていきましょう！
演習2.56
ユニタリ演算子をスペクトル分解すると、
$$
\begin{align*}
U &= \sum_k\exp{(i\alpha_k)}\ket{k}\bra{k} \\
\log{(U)} &= \sum_k i\alpha_k \ket{k}\bra{k} \\
\frac{\log{(U)}}{i} &= \sum_k \alpha_k \ket{k}\bra{k} \\
\frac{-i^2\log{(U)}}{i} &= \sum_k \alpha_k \ket{k}\bra{k} \\
-i\log{(U)} &= \sum_k \alpha_k \ket{k}\bra{k} \\
\end{align*}
$$
これで、左辺を$${K}$$と定義すれば、$${\alpha_k}$$は実数である事から$${K}$$はエルミート演算子であることがわかる。また、
$$
\begin{align*}
\exp(iK) &= \exp(i\sum_k \alpha_k \ket{k}\bra{k}) \\
&= \sum_k \exp(i\alpha_k) \ket{k}\bra{k} \\
&= U
\end{align*}
$$
であり、題意が示せた。
演習2.57
図のような状況で、同じ状態$${\ket{\psi}}$$を測定した後の測定後状態$${\ket{\psi_2}, \ket{\psi_3}}$$が等しいことを示す。
まずは①。
$$
\begin{align*}
\ket{\psi_1} &= \frac{L_l\ket{\psi}}{\sqrt{\bra{\psi}L_l^\dag L_l\ket{\psi}}} \\
\ket{\psi_2} &= \frac{M_m\ket{\psi_1}}{\sqrt{\bra{\psi_1}M_m^\dag M_m\ket{\psi_1}}} \\
&= \frac{M_m(\frac{L_l\ket{\psi}}{\sqrt{\bra{\psi}L_l^\dag L_l\ket{\psi}}})}{\sqrt{(\frac{\bra{\psi}L_l^\dag}{\sqrt{\bra{\psi}L_l^\dag L_l\ket{\psi}}})M_m^\dag M_m (\frac{L_l\ket{\psi}}{\sqrt{\bra{\psi}L_l^\dag L_l\ket{\psi}}})}} \\
&= \frac{M_mL_l\ket{\psi}}{\sqrt{\bra{\psi}L_l^\dag L_l\ket{\psi}}}\times\frac{\sqrt{\bra{\psi}L_l^\dag L_l\ket{\psi}}}{\sqrt{\bra{\psi}L_l^\dag M_m^\dag M_mL_l\ket{\psi}}} \\
&= \frac{M_mL_l\ket{\psi}}{\bra{\psi}L_l^\dag M_m^\dag M_mL_l\ket{\psi}}
\end{align*}
$$
次に②。$${N_{lm}=M_mL_l}$$
$$
\begin{align*}
\ket{\psi_3} &= \frac{N_{lm}\ket{\psi}}{\sqrt{\bra{\psi}N_{lm}^\dag N_{lm}\ket{\psi}}} \\
&= \frac{M_mL_l\ket{\psi}}{\bra{\psi}L_l^\dag M_m^\dag M_mL_l\ket{\psi}}
\end{align*}
$$
よって①と②で週状態が同じであるため、題意が示せる。
演習2.58
題意より、$${M\ket{m}=m\ket{m}}$$を満たす。
$${M}$$の期待値は、
$$
\begin{align*}
\braket{M} &= \bra{\psi}M\ket{\psi} \\
&= m
\end{align*}
$$
となり、標準偏差は
$$
\begin{align*}
\Delta(M) &= \sqrt{\braket{M^2}-\braket{M}^2} \\
&= \sqrt{m^2 - m^2} \\
&= 0
\end{align*}
$$
となる。
演習2.59
$$
\begin{align*}
\braket{X} &= \braket{0|X|0} \\
&= \braket{0|1} \\
&= 0
\end{align*}
$$
期待値が0というのは、測定結果+1と-1が等確率で出てくる事を意味します。
$$
\begin{align*}
\Delta(X) &= \sqrt{\braket{X^2} - \braket{X}^2} \\
&= 1
\end{align*}
$$
これは、平均値から測定結果までの距離が1であるという事を示しています。
演習2.60
$${\vec{v}\cdot\vec{\sigma}}$$の固有値を$${\lambda}$$とし、それに対応する固有ベクトルを$${\ket{u}}$$とすると、
$$
\begin{align*}
(\vec{v}\cdot\vec{\sigma})\ket{u} &= \lambda\ket{u}
\end{align*}
$$
となり、両辺に左から$${(\vec{v}\cdot\vec{\sigma})}$$をかければ、
$$
\begin{align*}
(\vec{v}\cdot\vec{\sigma})^2\ket{u} &= \lambda(\vec{v}\cdot\vec{\sigma})\ket{u} \\
&= \lambda^2\ket{u}
\end{align*}
$$
となる。ここで左辺の$${(\vec{v}\cdot\vec{\sigma})^2}$$を展開すると、
$$
\begin{align*}
(\vec{v}\cdot\vec{\sigma})^2 &= (v_1\sigma_1 + v_2\sigma_2 + v_3\sigma_3)^2 \\
&= (v_1^2+v_2^2+v_3^2)I + v_1v_2\{\sigma_1,\sigma_2\} + v_2v_3\{\sigma_2, \sigma_3\} + v_3v_1\{\sigma_3, \sigma_1\} \\
= I
\end{align*}
$$
となる。これにより$${\ket{u} = \lambda^2\ket{u}}$$なので、$${\lambda^2=1, \lambda=±1}$$である。固有値に対応する固有ベクトルを$${\ket{u_+}, \ket{u_-}}$$とすると、$${\vec{v}\cdot\vec{\sigma}}$$をスペクトル分解する事ができ、
$$
\begin{align*}
\vec{v}\cdot\vec{\sigma} = \ket{u_+}\bra{u_+} - \ket{u_-}\bra{u_-} …③
\end{align*}
$$
となる。また、完全性関係から、
$$
\begin{align*}
I = \ket{u_+}\bra{u_+} + \ket{u_-}\bra{u_-} …④
\end{align*}
$$
と書く事ができる。
③ + ④をすると
$$
\begin{align*}
I+\vec{v}\cdot\vec{\sigma} &= 2\ket{u_+}\bra{u_+} \\
P_+ &= \ket{u_+}\bra{u_+} = \frac{1}{2}(I+\vec{v}\cdot\vec{\sigma})
\end{align*}
$$
であり、④ - ③をすると
$$
\begin{align*}
I-\vec{v}\cdot\vec{\sigma} &= 2\ket{u_-}\bra{u_-} \\
P_- &= \ket{u_-}\bra{u_-} = \frac{1}{2}(I-\vec{v}\cdot\vec{\sigma})
\end{align*}
$$
となり、題意が示せた。
終わりに
以上、演習2.56～演習2.60までの解説になります！