演習2.41,演習2.42,演習2.43,演習2.44,演習2.45
案内人の涼子です🔑
今回もニールセン本の解説を記事にしました！
演習2.41～演習2.45になります！
演習2.41
$$
\begin{align*}
\{X,Y\} &=XY+YX=YX+XY= \{Y,X\} = 0 \\
\{Y,Z\} &=YZ+ZY=ZY+YZ=\{Z,Y\} = 0 \\
\{Z,X\} &=ZX+XZ=XZ+ZX=\{X,Z\} = 0
\end{align*}
$$
と計算できるので、問題のひとつ目の式は示せる。
$$
\begin{align*}
I^2 &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
X^2 &= \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
Y^2 &= \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
Z^2 &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
演習2.42
$$
\begin{align*}
AB &= AB - BA + BA + AB - AB \\
2AB&=[A,B]+\{A,B\} \\
AB &=\frac{[A,B]+\{A,B\}}{2}
\end{align*}
$$
演習2.43
演習2.42の$${A}$$に$${\sigma_j}$$、$${B}$$に$${\sigma_k}$$を代入すると、
$$
\begin{align*}
\sigma_j\sigma_k = \frac{[\sigma_j, \sigma_k]+\{\sigma_j,\sigma_k\}}{2}
\end{align*}
$$
となる。演習2.40の式(2.74)より、
$$
\begin{align*}
[\sigma_j, \sigma_k] = 2i\sum_{l=1}^3\epsilon_{jkl}\sigma_l
\end{align*}
$$
で、演習2.41の式(2.75, 2.76)より、$${j≠k}$$の時に0になるので、クロネッカーのデルタ$${\delta_{jk}}$$を付与し、$${j=k}$$の時に
$$
\begin{align*}
\{\sigma_j, \sigma_k\} = \sigma_j^2 + \sigma_j^2 = 2\sigma_j^2 = 2I
\end{align*}
$$
なので、
$$
\begin{align*}
\sigma_j\sigma_k &= \frac{[\sigma_j, \sigma_k]+\{\sigma_j,\sigma_k\}}{2} \\
&= \frac{2i\sum_{l=1}^3\epsilon_{jkl}\sigma_l + 2\delta_{jk}I}{2} \\
&= i\sum_{l=1}^3\epsilon_{jkl}\sigma_l + \delta_{jk}I
\end{align*}
$$
となる。
演習2.44
$$
\begin{align*}
[A,B]&=AB-BA=0\ \ \ (1) \\
\{A,B\}&=AB+BA=0\ \ \ (2) \\
\end{align*}
$$
(1)と(2)の連立方程式を立てると、$${2AB=0}$$となる。$${AB=0}$$であり、Aは可逆であるのでこの式に左から$${A^{-1}}$$を作用させると、
$$
\begin{align*}
AB &= 0 \\
A^{-1}AB &= A^{-1}0 \\
B&=0
\end{align*}
$$
演習2.45
$$
\begin{align*}
[A,B]^\dag &= (AB-BA)^\dag \\
&=(AB)^\dag -(BA)^\dag \\
&= B^\dag A^\dag - A^\dag B^\dag \\
&= [B^\dag, A^\dag]
\end{align*}
$$
おわりに
以上、演習2.41から演習2.45までの解説でした！