文字式と方程式と関数

中学1年生で学習するこれらの単元。
ちょっと注意しないと、それ以降の数学の学習につながるので、
書いてみました。

そもそも、中学２年生になる息子の質問を受けた時に感じたのですが…

まずは文字式のルール

おさらい…
・かけるの記号は省略　例　２×ａ＝２ａ　ａ×ｂ＝ａｂ
・数字の１は省略　例　ａ×1×ｂ＝１ａｂ＝ａｂ
　　　　　　　　　　　ｂ×（－１）＝－ｂ
・同じ文字は累乗の形で書く　例　ａ×ｂ×ａ＝ａ^2ｂ
　（便宜上肩の上の指数を^をつけて書かせてもらいます）
・割り算は分数で表す　例　２÷ａ＝２／ａ　ａ÷２＝ａ／２
　　　　　　　　　　　　　ａ÷ｂ＝ａ／ｂ
・文字はアルファベット順に書く　例　ａ×ｃ×ｂ＝ａｂｃ
・数字は文字の前　例　ａ×3×ｂ＝３ａｂ
となります

さらに、このａｂや２／ａや３ａｂのような×の記号を省略した塊を”項”といいます。
よくあるのは３ａｂのように数字と文字を合わせたもので、マイナスを含んだ場合…－３ａｂ　これも一つの項です。

この項を＋でつなげたものが、”多項式”と言われるものなのです。
例　２ａｂ+ａ／ｂ－３ａｃ
つまり、さっき書いた３ａｂなどは”単項式”と言われるんです。
ここで、間違いやすいので、もう一度書きます。

項（単項式）を＋でつなげたものが”多項式”
いわゆる文字式です

じつは、この文字式を考えるときに”＋”でつなげたもの、という説明が重要なのに伝わっていないことが多いのです。

先ほど例で書いた多項式をよく見ると”－（ヒク）”がありますよね。
ですので、項として考えるときは
２ａｂ+ａ／ｂ+（－３ａｃ）
と３つの項からなる多項式と考えなくてはいけません。

多い間違いとしては項は３つで　２ａｂ、ａ／ｂ、３ａｃ
と答えを出しちゃうことです。

これが、文字式の計算やその後の方程式の計算に大きく影響を与えてしまいます。

ちなみに、多項式でも並べる順番は、アルファベット順、
次数はその問題によりますが、大きいものから並べます。
（降べきの順ともいいます）

文字式の次数は…

文字式の次数にも勘違いが起きやすいので、再確認しますが、
・項（単項式）の次数は×記号を戻した時の文字の数
　例　２ａｂ＝２×ａ×ｂ　文字はａとｂなので２次
　　　－３ａｃ＝－３×ａ×ｃ　文字はａとｃなので2次
　　　２ａ^2（2ａ2乗）＝２×ａ×ａ　文字はａなので２次
・多項式の次数は単項式の時数の一番大きいもの
　例　２ａｂ＋３ａｃ^2－３ｂ　2次、3次、1次なのでこの式は3次式

文字式の計算方法とは…

文字式の基本的な考え方
・数字（係数）は数字（係数）、文字は文字
　例　５ａ+４ａ＝（５＋４）ａ＝９ａ
・同じ次数、同じ文字の項しか計算できない
　例　２ａｂ+４ａｃ+３ａｂ+５ａ^2ｂ
　　　　＝（２＋３）ａｂ+４ａｃ+５ａ^2ｂ
　　　　＝５ａｂ＋４ａｃ＋５ａ^2ｂ
　　　　＝５ａ^2ｂ＋５ａｂ＋４ａｃ
・あくまでも”項”の係数を計算する
　（間違いやすい時はまず項を確認）　
　例　２ａｃ＋４ａｂ＋５ａｃ－３ａｂ
　　　　（項は２ａｃ、４ａｂ、５ａｃ、－３ａｂ）
　　　　＝（２＋５）ａｃ+（４－３）ａｂ
　　　　＝７ａｃ＋１ａｂ
　　　　＝ａｂ＋７ａｃ

係数に関しては、掘り進めるのはしません
教科書確認してください。

重要なのは３番目。

”項”の係数を計算する

これにつきます。
これでつまずくと、この後の方程式は関数（比例反比例など）に響きます。

方程式についてですが

難しいこと抜きであっさり言うと

等式と方程式は一緒

これについては異論反論はここではぬきね。
”＝”で結ばれているのが方程式と考えてください。
ですので、基本ルールは
・両辺に同じものを足しても一緒　例　Ａ＝ＢならばA＋C＝B＋Ｃ
・両辺を同じもので引いても一緒　例　Ａ＝ＢならばＡ−Ｃ＝Ｂ−Ｃ
・両辺に同じものをかけても一緒　例　Ａ＝ＢならばＡＣ＝ＢＣ
・両辺を同じもので割っても一緒　例　Ａ＝ＢならばＡ／Ｃ＝Ｂ／Ｃ
　（原則：０で割ってはいけません）

ですので、例として５ｘ＋７＝１２を解いてみると
　５ｘ＋７＝１２
　５ｘ＋７−７＝１２−７　…　両辺から７を引く
　（５ｘ　　　　＝１２＋（−７）　…　７という”項”を移行していること）
　５ｘ＝５
　５ｘ÷５＝５÷５　…　両辺から５を割る
　　ｘ＝１
となります。
この３行目が重要
つまり、方程式が得意な方や、教える先生の板書では
　５ｘ＋７＝１２
　５ｘ　　＝１２−７
　５ｘ　　＝５
　　ｘ　　＝１
としか書かないで、移項の説明も
”＝を超えると符号が変わるよ”
となるため、項の係数が今回のようにプラスならあまりミスもないのです。

試しにちょっと複雑にしてみますと、５ｘ＋７＝１１−３ｘでやってみる
　５ｘ＋５　＝１３−３ｘ
　５ｘ＋３ｘ＝１３−５
　８ｘ　　　＝８
　　ｘ　　　＝１
ここでよくあるミスは−３ｘの項を正しく移行できないとミスに繋がるし、
５の移項もきちんとできないと、こんなミスも生じます
　５ｘ＋５　＝１３−３ｘ
　５ｘ−３ｘ　＝１３＋５
　２ｘ　　　＝１８
　　ｘ　　　＝　９
ちゃんときれいな数字になっているので、ミスに気づかないのです。

ちなみに、息子に”イコウ”って漢字でかけるときいたら、
”移行”
と書かれました。
つまり、”項”を”移”動することが理解できていませんでした。

あくまでも、項を移動するのです。

これ、案外多いミスですね。
文字式の段階で”項”という認識が甘いと符号ミスが生じるのです。

比例と反比例（中１範囲）

比例式は方程式の一種です。
ｙ＝ａｘ　ｘｙは文字（変数）ですが、ａは係数です。
ですので、ｘ＝１のとき、ｙ＝ａ
これを座標として（１，ａ）と表します。

比例とは、
変数の一方が２倍３倍…になれば他方も２倍３倍…になるもの
です。

よく、「比例はどれですか」と聞かれますが、具体的にこれになぞらえて考えればいいのです。
足し算ではなく、掛け算で考えられるものが比例です。

反比例式はｙ＝ａ／ｘで表せます。
同じく文字　ｘｙは文字（変数）ですが、ａは係数です。
これもｘ＝１のときｙ＝ａです。
しかし、この式はｘｙ＝ａともなるので、
掛け算すると同じ数になるのです。
ｘ＝２のときはｙ＝ａ／２ですし、ｘ＝１／２のときｙ＝２ａになります。

反比例とは、
変数の一方が２倍３倍…になれば他方は１／２、１／３…になるもの
です。

逆に半分にすれば２倍になるということですよ。

グラフが重要

比例反比例は関数の考え方の基本なので、グラフが書けるかどうかも重要です。
ちなみに

比例式ｙ＝ａｘのグラフは（０，０）と（１、ａ）を通る直線になります。

反比例式ｙ＝ａ／ｘのグラフは（１／２、２ａ）、（１，ａ）、（２、ａ／２）
を通る曲線。ただし、ｘ＝０、ｙ＝０は駄目なので、ｘ軸ｙ軸にさわってはダメ。
そのため、飛び越えて、（０，０）に点対象の位置に同じ曲線ができます。
つまり（−１／２、−２ａ）、（−１、−ａ）、（−２、−ａ／２）を通る曲線とペアになります。

これらは、必ず抑えておいていただきたいですね。

ちなみに中２になる息子は・・・ダメダメでした。
これらが全く理解してませんでした。