モーリーの定理の証明～三角比を使った方法～
こんにちは。和からの数学講師の岡本です。以前、「モーリーの奇跡」というタイトルのマスログで紹介した「モーリーの定理」。今回はこの美しい定理の証明を簡単にまとめていこうと思います。
この記事の主な内容
１．モーリーの定理
２．3倍角に関する補題
３．モーリーの定理の証明
４．さいごに
１．モーリーの定理
詳しくは以前のマスログをご覧ください。
一応ここでも定理の主張を書いておきます。
定理（フランク・モーリー,1899）
任意の三角形の各頂点から、角の3等分線を伸ばす。
２つの頂点の隣り合う3等分線の交点を結ぶと正三角形ができる。
美しいですよね。。。適当な三角形から正三角形が構成できるわけですから！今回はこの定理をしっかり味わっていきます。
２．3倍角に関する補題
早速定理の証明に入っていきたいのですが、証明の際に鍵となる補題について、まずはまとめてみようと思います。
証明しましょう。まず、通常のsinの3倍角の公式を使って変形していきます。
というわけで、少し変わった3倍角の公式を示すことができました。これを使ってモーリーの定理の証明に入ります。
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<文/岡本健太郎>