【演習】数学渡来人の式証明 pt.1

　皆さんこんにちは，数学渡来人です．本日は前回の内容の演習ということで，2問解いていく．ここでは，【証明】と【演習】を合わせて１つ分としてカウントする．それでは早速問題を解いていこう．

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~第１問~

《prob.》

　$${B(2,3)=\displaystyle\int_0^1x(1-x)^2dx}$$を求めよ．

《solv.》

　この積分は，高校数学の知識でも十分に解ける問題であるので是非とも多くの人の挑戦してほしい１問だ．

$${t=1-x}$$と置換し，$${x=1-t}$$も置換の式より求める．$${t=1- x}$$に関して，両辺を$${x}$$で微分すると，

$${\dfrac{dt}{dx}=-1\\-dt=dx}$$

となり，積分範囲は$${1\to0}$$となるものの，$${-dt}$$なので元の積分の積分範囲のまま積分を実行する．

$${\therefore\displaystyle{\int_0^1(1-t)t^2dt }\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left[\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{4}x^4\right]^1_0=\dfrac{1}{12}_{//}}$$

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~第２問~

《prob.》

$${\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt\pi}$$を示せ．

《solv.》

　今回のページの表紙にもなっている問題である．この問題を解いていく．とその前に，この積分を定義してからの方が解きやすいので，定義してからやっていきたい．

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def.ガウス積分

$${\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi}$$

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$${\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle\int_0^\infty x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}dx}$$

$${t=x^{\frac{1}{2}}}$$を置換し，$${t^2=x}$$も定める．両辺を$${x}$$で積分すると，

$${dt=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx\\2t^{-1}=dx}$$

積分範囲は元の積分と変わらないので，これを式にすると，

$${\therefore\displaystyle2\int_0^\infty e^{-t^2}dt\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2\cdot\dfrac{\sqrt\pi}{2}=\sqrt\pi_{//}}$$

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~終わりに~

　今回も読んでくださり感謝したい．次回はまた証明ということで，ベータ関数とガンマ関数についての関係性についてを証明する．この２つの関数は性質が多く存在するので，楽しみに待っていていただけると幸いだ．
　それではまた！