【数学】2次方程式の解の公式

対象：定期試験以上

今回は　2次方程式の解の公式　のお話です

係数が虚数のときには使えません

放物線$${y-ax^2+bx+c}$$を考えてみると　放物線は左右対称であり　その中心が　$${x=-\dfrac{b}{2a}}$$　です
この放物線の軸は　解の公式のここに現れています

左右対称ですから　中心から解までの距離が同じですね

$${\dfrac{\sqrt{D}}{2a}+\dfrac{\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{\sqrt{D}}{a}}$$　ということです
ただし，$${a>0}$$のときのお話です

$${x^2}$$の係数の正負によって　$${\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$$と$${\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}}$$　の大小関係が変わりますのでここは注意点です
$${a < 0}$$なら　切り取る長さ$${=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}-\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=-\dfrac{\sqrt{D}}{a}}$$
となるからです．

$${ax^2+bx+c=0}$$が異なる2つの実数解をもつときのお話をしましたが
重解をもつときは　2解が重なるので　軸$${x=-\dfrac{b}{2a}}$$　がそのまま重解となります

解の公式　$${x=\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}$$　で$${D=0}$$とおけば明らかです

放物線が$${x}$$軸から切り取る長さ　が出てきましたが
数学IIで解と係数の関係を学習すると
次のような議論ができます

簡単な問題で確認しましょう

放物線が$${x}$$軸から切り取る長さは　２解の差　であり
このときには　$${\Big|\dfrac{\sqrt{D}}{a}\Big|}$$　を用いても解と係数の関係を用いてもどちらでもOKです

しかし斜めの直線から放物線が切りとる長さについては
解と係数の関係を用います

以上　２次方程式の解の公式　のお話でした