【数学】はさみうちの原理と追い出しなど

対象：理系　定期試験以上

今回は　はさみうちの原理　等についてのお話です
(演習はなし)

発散も含め極限が具体的に計算できればよいのですが
計算できない場合には　極限が計算できる他のものと比較することにより
その極限を考えよう　ということになります

まず①の大小関係についてですが
注意点として　$${a_n < b_n　ならば　\alpha \leqq \beta}$$　も成り立ちます
任意の自然数$${n}$$で$${a_n < b_n}$$であっても　極限値が$${\alpha =\beta}$$となることがあります(例：$${a_n=\dfrac{1}{n}，b_n=\dfrac{2}{n}}$$)
「≦」は「＝」または「<」であるので　そういう意味を含んでいます

②がはさみうちのの原理ですね
これも①と同様の注意点がありますが
その他には　$${\alpha}$$は有限の値であり　$${\infty}$$　のときにははさみうちの原理は必要ありません

そのときには　次の方法で十分です
上の①を利用した　発散の証明の1つです

次は　押さえこみ　です
これも最初の①を利用します

$${a_n}$$はどんどん大きくなっていくけれども　5よりは大きくならないことが確認できたとき
極限値は　5よりも小さい値ということになります
収束することを証明するための方法であって
極限値が具体的にいくつか　ということはわかりません

また　単調増加(または単調減少)性が　振動しないということを保証しています