分散公式を導く

分散公式を導く

分散公式とは、手計算するときに、定義式よりもやや簡単に分散が計算できる公式である。下に記した、左辺が分散の定義式、右辺が分散公式である。

$$
\frac 1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar x^2
$$

この式変形は、総和記号（Σ）を理解するのにもってこいである。
私は統計学を学び始めた頃、この変形が自分でできずに苦労した。左辺を素直に展開すると、$${(a-b)^2=a^2-2ab-b^2}$$ という、中学校で習った式変形に従えば、$${\bar x^2}$$ は「＋」になるはずである。なのに、右辺では「－」になっている。しかも、展開した第2項が消えている。なぜ？？

「なぜ？？」の答えは、総和記号の理解にかかっている。