掛け算について

一時期ネット界隈をざわつかせた問題がある。その問題のオリジナルの姿はわからないが、まとめると文章題で掛け算の順序が逆だったために、正当な評価を得られなかったというものであった。これに対する反応(およびそのポストの意図)としては主に実数体における掛け算は定義から可換であるため、それらを区別する必要はなく、この採点はおかしい。というものだった。しかしこれにも反論があり、小学生の子供たちは掛け算を、例えば2×3などの場合において、2が3個あるという教わり方をしている。一方で3×2は3 が2個あるという教わり方をしている。元々の姿が違うのにも関わらず、これをただ事実として同じであるということを教えるのは如何かと言ったものだった。(この意見に関してはうろ覚えであるため、他に掛け算の順序を重視している人がいたらなぜそう思っているのか教えてほしい。)また、実数体という概念を用いての説明はここでは適当でないといった意見もあった。

なるほど確かに、小学校で習う掛け算というものを体という一般的な概念を用いて説明するのもおかしい。もっと現実に根付いたものを例に挙げるべきだと。でもやはりおかしいような気がする。これはいささか自己弁護になってしまうが、私は九九をおそらく半分しか覚えてない。それは端的に言って仕舞えば必要ないからである。また、私たちが普段なんらかの計算をするときに区別をするわけでもない。踏み込んで言えば、そこまで自然数の掛け算の可換性にそれほどまでの非自明性はない。(小学生の問題だったのでここで自然数と制限している。)
以上を踏まえると、掛け算の導入方法に問題があるように思える。上記のように〇〇が△△個ある。という導入をすると、少し可換性が見えづらくなる。そこで私は組み合わせによって掛け算を導入することを提案したい。例えば2×3は、2つのものから一つ選び、3つのものから一つ選ぶことを考え、これらの組み合わせによって2×3を定義するのである。

この定義によって可換性がある程度自然な意味において明らかになる。単純に「選ぶ順番は選び方に影響しない。」という当たり前によって正当化されるからである。またそれだけでなく、この定義はある意味で自然なのである。例えば、なんかしらのカップリングを考えるとき私たちは×という記号を使う。誰かが結婚するとなれば〇〇×△△と表すと言った具合である。また集合論における×、つまり直積も組み合わせを意味していてこれも自然に認知されることになる。

以上組み合わせとして掛け算を導入することを提案したが、もちろんこれにもデメリットがある。というにも元々の掛け算の導入にも明確な意図があったのである。それは足し算の拡張としての掛け算である。2が3つあるといったものはまさにそれである。確か1年生で足し算を学び、同じ数の足し算ならば掛け算で表す。といったのも当人たちにおいては自然な拡張である。

またどちらの掛け算の導入にも共通しているデメリットがある。それは身近な例を出すと速さとった概念がわかりづらくなる。演算について考えると逆演算を考えるメリットがよくわからない。と言ったところである。割り算の軽視はその後の学習にも影響を与える。特にモチベーションがわからないまま分数や少数、速さなどの概念を学ぶのはなかなか難しいものがある。

もちろんこの難点を回避する掛け算の導入も考えられる。それは一次関数としての導入である。中学生らしくいうと比例から掛け算を導入する。私は数学史に造詣が深くないが、古代ギリシャにおいて比例学と言ったものがあるほど重視されていたという話をきたことがある。この考えは線型性の理解の手助けにもなり、また、関数という解釈において逆関数を考えるのは自然なモチベーションになると考える。

しかしこの考え方はいささか難しいような気がする。それこそ2年生が理解しなければならないことを考えると難しいものがある。諸々の割り算の概念は高学年になってから習うため、それを一気に教えるのも考えものだろう。

以上、掛け算の導入について3つの方法を提示した。一つは従来の通り足し算の拡張としての導入、二つ目は組み合わせによる導入、三つ目は一次関数としての導入である。いずれの導入にもメリットとデメリットが存在する。これらを正しく認識した上で指導できるのが理想だろう。