ε-δ論法について

こんにちは
今日はε-δ論法について　みてみたいと思います

ε-δ論法は

x→aのときf(x)→b　であるとは

任意のε>0にたいしてうまくδ>0をとってくることができて　それは
|x-a|<δ　ならば　|f(x)-b|<ε
のようだ
である　というものです

これを用いて　問題を解いてみたいと思います

問
任意のεにたいして
|x-1|<δ　ならば　|x^3 -1|<ε
をみたすδをひとつ求めよ

解
δ=min ε/7 1とすると

|x-1|<δならば
-ε/7<x-1<ε/7　①
-1<x-1<1
0<x<2
|x|<2　②
で

|x^3 -1|=|x-1||x^2 +x+1|
≦|x-1||x|^2 +|x|+1|
<|x-1||2^2 +2 +1|　(②より)
=|x-1|7
<ε/7 7　(①より)
=ε

で題意をみたす

わからないところがあったら教えてください

みてくれてありがとうございます