共形ゲージにおける2次元Ricciスカラー曲率

2次元の計量は共形ゲージで

$$
ds^{2}=-e^{2\omega(u,v)}dudv
$$

と書ける。このとき曲率は

$$
R=8e^{-2\omega}\partial_{u}\partial_{v}\omega
$$

となる。これは計量を

$$
g_{uu}=g_{vv}=0,\quad g_{uv}=g_{vu}=-\frac{1}{2}e^{2\omega}
$$

と置き