#生成消滅演算子
生成消滅演算子が複数ある場合の交換関係
概要一般に生成消滅演算子が複数ある場合の交換関係
$$
[\alpha^{i},(\alpha^{\dagger})^{j}] = \sum_{k=1}^{\min(i,j)}\frac{j!}{k!(j-k)!}\frac{i!}{(i-k)!}(\alpha^{\dagger})^{j-k}\alpha^{i-k}
$$
を見つけたので紹介する。以前の記事では$${i=j=n}$$か
生成消滅演算子と真空期待値
有名な公式
$$
[a^{n},a^{\dagger}]=na^{n-1},\quad [a,(a^{\dagger})^{n}]=n(a^{\dagger})^{n-1} \tag{*}
$$
を用いると次の階乗が出る真空期待値を示せる。
$$
\braket{0|[a^{n},(a^{\dagger})^{n}]|0}=n!
$$
なお、生成消滅演算子の個数が揃っていないときはゼロであ