生成消滅演算子と真空期待値

有名な公式

$$
[a^{n},a^{\dagger}]=na^{n-1},\quad [a,(a^{\dagger})^{n}]=n(a^{\dagger})^{n-1} \tag{*}
$$

を用いると次の階乗が出る真空期待値を示せる。

$$
\braket{0|[a^{n},(a^{\dagger})^{n}]|0}=n!
$$

なお、生成消滅演算子の個数が揃っていないときはゼロであ