【一般相対論】ブラックホールに自由落下するのにかかる時間

外から見るとブラックホールに落ちる人は無限の時間をかけて落下していくのに対して、落ちている本人からすれば普通に落下していく(局所的に平坦である)ので有限の時間で落ちる。という計算。ここで考えるブラックホールはSchwarzschildブラックホールである。 はじめにゼミ中で手間取ったので。SusskindのThe Holographic Universeにある $$ \begin{align*} r=&\frac{R}{2}(1+\cos{\eta})\\ \tau=&\