とりとめのなく数学の話をするだけ【特性方程式】

こんにちは、山田太郎です。

今回は漸化式に関して、特に$${a_{n+1}=pa_n+q}$$の型についてどうして特性方程式がうまくいくのかをじっくり見ていこうと思います。

$${a_n}$$と$${a_{n+1}}$$のところを$${c}$$にかえて$${c}$$について解く。
この$${c}$$にはいったいどんな意味があるのだろうか。

等比型

さて、ではまず「解ける」漸化式について、$${a_{n+1}=pa_n}$$を等比型と勝手に呼びたい。

単純な観察によって、この漸化式は解くことができる。
いま、$${a_1=a}$$と初項を決めておくと、漸化式を繰り返し使うことで

$$
a_n=pa_{n-1} \\
=p^2a_{n-2} \\
= \cdots \\
=p^{n-1}a_1 =p^{n-1}a
$$

となることがわかります。
等比型は解ける。
つまり、等比型に帰着できれば解くことができる。

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