京都大学2016年整数問題解説
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2016年に出題された京都大学の整数問題です。
一目見て、避けたくなる問題と感じた人が多いのではないでしょうか。というのも、指数部分に未知数が入っているため整数問題(特に素数に関する問題)でお馴染みの
因数分解 → 因数の片割れが1または-1となる
を用いることができません。
また、実験をしようにも、素数の未知数が2つあるので、実験から一般化することも難しそうです。
では、お手上げなのかというとそんなことはありません。入試においてちょくちょく活躍するのですが、素数は偶数の素数2と奇数の素数に分類でき、2を特別扱いをしないといけないことがあります。本問ではp、q共に奇数の素数だとするとp^q+q^pは2より大きい偶数の素数となります。この事からp、qの少なくとも一方は2となることがわかります。
p、qには対称性があるので、p=2とすると2^q+q^2が素数となるような素数qを求めればいいことがわかります。pを2としているのでqにいくつか数を当てはめることで法則性が見つかりそうです。実験の様子を書き出してみます。
すると、素数qが3k+1、3k+2どちらの場合でも2^q+q^2は3の倍数となりそうです。あとはこの事を証明すれば、求める素数が17であることがわかります。
二項定理を用いるところが横着になってしまいましたが無事完了しました。振り返ると偶数の素数2に注目することができれば、実験→法則性の発見→証明 というお馴染みの流れになります。証明部分も二項定理を使うぐらいでそれほど高度な技を用いません。そういう意味でとても教育的な問題となっています。今回はここまで。よければ👍️をお願いします。
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