京都大学2022年入試

前回の解説はこちら

https://note.com/larmelarmelarme/n/n8277bdae52c8

今回は京都大学の整数問題の解説をしていきます。
問題はこちら

与えられた3つの正の整数の最大公約数を求める問題となっています。
方針が見えづらく、実験をしてみたくなるところですが、n^6のせいで、実験をするのもままなりません。そこで、最大公約数をどのように求めたか思い出しましょう。高校の教科書では最大公約数を
・素因数分解を通して求める
・ユークリッドの互除法を通して求める
の2通りを紹介しています。
本問では3つの整数がnについての多項式で表されているので、素因数分解を通して求めることは難しいです。そこで、互除法で求めることを考えます。

試しにn^2+2とn^4+2に互除法を適用してみると、A_nの候補として、1、2、3、6が挙がってきます。
(ここで、n^4+2をn^2+2で割った余りが6となると記述してはいけません。というのも、n=1のときはn^2+2=3、n=2ときはn^2+2=6となるので、6が大きすぎる余りとなってしまいます)
では、最大公約数の特定に入っていきましょう。
そのために、与えられた3つの整数を6で割った余りを求めてみます。

nを6で割った余りで分類すると3数とも6×整数+余りという形で表せます。すると、最大公約数の候補が1、2、3、6であったことからA_nを特定することができます。ということで、最大公約数を求めることができます。
結果を見てみると6で割った余りで分類されるのが面白いところですね。(個人的には問題を見たときに答えは1だろうと思ってました)
解答を振り返ると互除法と余りの分類だけという、教科書に必ず載っていることしか使っていません。そういう意味でとても良問だと思います。
今回の解説はここまでよければ👍️をお願いします。
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