大学入試数学今週の一題#1
高校数学今週の一題を配信してからはや、１ヶ月
今週からタイトルを変更して配信していきます。
どうかお付き合いをお願いします。
まずは先週のおさらいから
まずは帰納法による解答から。
帰納法のポイントはn=kの仮定からいかにn=k+1の時に繋げるかです。
不等式における個人的なおすすめはn=kの仮定の不等式において、+,-,×,÷のいずれかの操作をすることで左辺(もしくは右辺)にn=k+1の時の式を作るです。(本問ではax+byをかけています)
そうすることで、本来、証明したい不等式よりも簡単に証明でき、かつ解決に至る不等式を見いだせます。
(本問ではax^(k+1)+by^(k+1)-(ax+by)(ax^k+by^k)>0を示せばn=k+1のときを示したことになります。)
個人的には古い解法と思っている別解も紹介します。(かなり歪んだ解釈であり、解法自体はとても素晴らしいです)
左辺、右辺ともにx,yについてのn次式です。そこでy/x=tとおいて、文字を減らし、tの関数ととらえて攻略します。
本問では微分を使いましたがもっと上手い方法があればぜひ教えてください。
最後にa+b=1とグラフの凸性を有効に使った解答を紹介します。実は、次の不等式が成立します。
実は、この不等式を知っていれば解決する入試問題はたくさんあり、本問はその１題となっています。
早速、解答してみると……
このように下に凸な関数を設定するだけで鮮やかに解決します。
いかがでしたでしょうか？今週の解答紹介は以上にします。
そして、今週の問題はこちら
では、また来週
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