ラマヌジャンの等式

久しぶりの投稿です。

ラマヌジャンに関して調べることがあり、高校生でも理解できるものがあったので紹介します。
そのため、ラマヌジャンに関する高度なことを示してると思った人は許してください🙇‍♂️

では、今回紹介するラマヌジャンの等式はこちら

ザ・ラマヌジャン感のある等式ですね。３乗根の中に3乗根。それが３乗根で表された3数の和と差になっている。
どうやって思い付いたんでしょうね？自分には絶対に無理です(笑)

では、気を取り直して証明してみましょう。
ゴリゴリ計算すれば導けると思いますが自分にはそんな計算の腕力はなく、断念…
同値変形をして、もう少し示しやすいものを証明することにしましょう。

分母の存在は計算間違いを引き起こしやすいので、分母をなくすのは必然。
3乗根もルート以上に扱いにくいので3乗ぐらいはしておきましょう。それでも3乗根2は扱いにくい格言『文字は数式を雄弁にする』に従い3乗根2は文字にしましょう。受験のテクニックは案外役に立ちます。
この時x^3=2が成り立つことが案外忘れやすい。
すると④を示せばいいことになります。右辺をゴリゴリ展開してx^3=2を使えば導けるのでしょう。ここまでうまく同値変形をしてきたのでそんな野暮なことはしたくないですね。
④の右辺x^2-x+1に注目しましょう。勘のいい人は気づくはず❗
気づかない人は以下の画像で解答をチェック❗

実は、④の両辺に(x+1)^3を掛けたものを考えるのが上手い方法。
3乗+3乗の展開公式で一気に証明が完了します。
このテクニックは時折、活躍します。(今年の京大入試でも使えたはず、自信はないが…)

いかがだったでしょうか。使った手法だけを見ると入試でも出題されておかしくないのではと思います。別のいい方法があれば教えてください。
今回はここまで。よければ👍️をお願いします！
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