【統計学が得意な人求む！】錦糸町の蕎麦屋での疑問

着想

先日、錦糸町の駅ナカの蕎麦屋で天ぷらそばを手繰りながら思ったことを書く。

僕は蕎麦をズルズルと音を立てて啜るのはあまり好きではない。他人が音を立てて蕎麦を啜っていても特に不快に感じることはないのだが、僕自身は啜らずに噛みちぎる派だ。
その方がなんだかゆっくりと蕎麦を堪能できる気がする。

だが、噛みちぎる派にも苦悩は存在する。それは、己が前歯で切断した麺の断片が器の底に溜まることだ。
この断片たちを残すのは心苦しい。しかし僕は箸で彼らを掬い上げるほどマメではなく、器の汁をすべて飲み干して汁と共に彼らを腹に収めてしまえるほど剛毅でもない。

かくして、器の底で沈黙する彼らをただ茫漠と眺めるしかなかった僕は思った。

「彼らの長さの分布はどのようなものだろう？」と。

問い

彼らの中には箸でつまむことが到底できないような微塵なものと、ギリギリ一本の麺とも解釈できる長さをしたものとが混在している。

僕は彼らのばらつきに想いを馳せて問題を一般化する。

問、周の長さが1の円周上の無作為で相異なるn箇所で円を切断して得られるn本の弧の長さの分布はどのようなものか？

アプローチ

この問いを考えるにあたり、まずはn＝2のときに得られる2本の弧長の分散を調べてみようと思った。
分散とは各々の平均との差を二乗した値の期待値のことであり、対象のばらつき具合を表現する値だ。

この値は「対象となる値の二乗の期待値」と「対象となる値の期待値の二乗」の差に等しいことが知られている。

僕はその値が1/12であることをたしかめた。

統計学・数学に明るい方求む

次なる目標はこれをn本に一般化することだ。

僕にはその目標への道筋が２つ見えている。
ひとつはこのままn＝3のときやn＝4のときを考えて一般化への道筋を探る道。
もうひとつはnより大きな自然数mについて、正m角形をn箇所の頂点で分割することを考えて、mを無限大に発散させる道だ。

なにか進展があったら追記しようと思うが、僕より統計学に明るい方がコメント等で助言をしてくれることを願って、このあたりで一度、筆を置こうと思う。

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