32.01 ２次曲線（楕円と双曲線①）

この２次曲線では高校数学で学ぶ内容を紹介します。具体的には、楕円、双曲線、放物線を扱います。

２次曲線と呼ばれる楕円、双曲線、放物線を扱いますが、楕円を除いてすでに学んでいます。双曲線は中学数学の反比例のグラフで、放物線は２次関数で学んでいます。さらに、楕円の特殊な場合である円は図形と方程式で学んでいます。

２次曲線

２次曲線とは  ($${x, \: y}$$に関する２次多項式)＝０ で表される図形。つまり

$${ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0}$$

を満たす点$${(x, \: y)}$$全体の表す図形のことをいいます。
ただし、$${x, \: y}$$は変数、$${a, b, c, d, e, f}$$は実数定数で、$${a, b, c}$$のうち少なくとも１つは０でないとします。

そうすると楕円、双曲線、放物線の他に２直線も含まれますが、ここでは扱いません。例えば、$${x^2-3xy+2y^2=0}$$は２直線を表します。実際

$${(x-2y)(x-y)=0}$$より、$${x-2y=0 \:\: \text{or}\:\: x-y=0}$$

となり、これは２直線を表しています。

すでに学んでいる２次曲線を具体的に挙げれば

$${x^2+y^2-1=0, \:\: xy-1=0, \:\: x^2-y=0}$$

で、順に円、双曲線、放物線の方程式です。ついでに確認しておくと、集合

$${F=\{(x, \: y)\mid x^2+y^2-1=0, \: x,y\in\mathbb{R}\}}$$

を座標平面上に図示すると円になります。円の方程式はどのような点全体を考えているかを表している式です。慣習で「円$${x^2+y^2=1}$$」と書けば集合$${F}$$を意味しています。中学高校の教科書では集合での表現を紹介しないので分かり難く感じると思います。この数学事始めでは、グラフも図形も集合で紹介しているので自然な流れです。

楕円

楕円、双曲線の定義を述べ、そこから楕円の方程式、双曲線の方程式を導くのが王道ですが、"式の形" と "図形のかき方" を先に覚えてもらいます。定義に関しては次回紹介します。

楕円の方程式