31.25 ベクトルの初歩（空間の数ベクトル演習）

少し難しめの問題を扱いますが、基本を理解していれば解けると思います。制限時間はないので、納得がいくまで考えてみてください。

演習問題

1⃣　一辺の長さが２の立方体が座標空間内にある．頂点の一つが原点Oにあり、その頂点を端点とする３辺がそれぞれ$${x}$$軸, $${y}$$軸, $${z}$$軸上の正の部分にある．これらの３辺を順にOA, OC, ODとする立方体OABC-DEFG について，次の各問に答えよ．
(1)  ２つのベクトル$${\overrightarrow{\mathrm{OB}}, \: \overrightarrow{\mathrm{CF}}}$$を成分で表せ．
(2)  内積$${\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}}$$を求めよ．
(3)  ２つのベクトル$${\overrightarrow{\mathrm{OB}}, \: \overrightarrow{\mathrm{CF}}}$$の成す角を求めよ．

※ どのような図になるか分からない場合は、解説の図をご覧ください。

2⃣　２点$${\text{A}(1,2, 2), \: \text{B}(2,3, 4)}$$に対して，次の点の座標を求めよ．
(1)  A, Bから等距離にある$${x}$$軸上の点Ｐ
(2)  △ABPの重心Ｇ

3⃣　２つのベクトル$${\vec{a}=(5, -2+t, 1+2t), \: \vec{b}=(1, \: 0, \: 0)}$$の成す角が$${\dfrac{\:\pi\:}{4}}$$になるように$${t}$$の値を求めよ．

4⃣　３点$${\text{A}(a,-1, 5), \: \text{B}(4,b, -7), \: \text{C}(5,5, -13)}$$が同一直線上にあるとき，$${a, \: b}$$の値を求めよ．

5⃣　４点$${\text{A}(0,1,1), \: \text{B}(2,2,2), \: \text{C}(1,3,2), \: \text{D}(1,a,b)}$$がある．このとき，次の各問に答えよ．
(1)  $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$を求めよ．
(2)  $${\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$$が平面ABCに垂直となるように$${a, \: b}$$の値を定めよ．
(3)  (2)のとき，四面体ABCDの体積を求めよ．

6⃣　３点$${\text{A}(3,0, 1), \: \text{B}(0,9, 7), \: \text{C}(9,12, 0)}$$を頂点とする△ABCがあり，頂点Cから対辺ABに垂線CHを下ろす．このとき，点Hの座標を求めよ．