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20.4 2次方程式・不等式(グラフと2次不等式①超基本)

前回述べた通り、2次不等式は2次関数のグラフを利用して解きます。具体的にその解き方をみてみましょう。
以下、特に断らない限り未知数$${x}$$は実数とします。

例1 不等式$${x^2-4x+3>0}$$を解け。

解答例 $${y=x^2-4x+3}$$とおいて、2次関数のグラフを考えます。このとき頂点の座標を求めるのでなく、横軸 ($${x}$$軸) との共有点を考えます。19.15 で紹介したように、グラフは次のように描くこともできるからです。
横軸との共有点は
              $${x^2-4x+3=0}$$
の左辺を因数分解して
               $${(x-1)(x-3)=0}$$
となるので$${x}$$切片は
                $${x=1, \: 3}$$

です。また$${x^2}$$の係数がプラスなので下に凸の放物線です。したがってグラフは次のようになります。

共有点を用いて描いたグラフ   

縦軸は解くときに不要なので省略します。
いま問題になっているのは不等式$${x^2-4x+3>0}$$なので$${y>0}$$を考えたいのです。$${y>0}$$は横軸より上の部分なので、グラフでは触覚のような部分 (下図の赤い部分) です。

2次不等式を解くためのグラフ   

上図の赤い部分をみたす$${x}$$の範囲を求めたいので、図を見ると1の左側と3の右側です。つまり、1より小さい所と3より大きいところです。これを式で表現すると
               $${x<1, \: 3< x}$$
です。▮

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