32.04 ２次曲線（基本問題演習）

この演習の目的は、基本事項の理解を深めることです。基本事項を覚えていれば、時間は掛かるかもしれませんが、解けると思います。早く解くことよりも、自力で解けることが大切です。数学の力を着けようと思ったら、すぐに答えを見ず、学んだことを思い出しながら考えてください。

基本問題演習

1⃣  楕円，双曲線，放物線の定義を述べよ．

2⃣  次は２次曲線を表す方程式の標準形を少し変形したものである．その図形の名称を答え概形をかけ．
さらに，楕円の場合は長軸および短軸の長さと焦点の座標を，双曲線の場合は漸近線の方程式と焦点の座標を，放物線の場合は準線の方程式と焦点の座標を答えよ．
(1)  $${x^2-2y=0}$$　　(2)  $${3x^2+2y^2-6=0}$$　　(3)  $${3x^2-9y^2+1=0}$$

3⃣  方程式$${y^2-4x-4y=0}$$は放物線を表す．この放物線の準線の方程式，頂点および焦点の座標を求め，その概形をかけ．このとき，横軸または縦軸と交点をもつならその切片も記入せよ．

4⃣  次の方程式は楕円または双曲線を表す．この図形の概形をかけ．そのとき，図形の中心および横軸または縦軸との共有点も記入せよ．双曲線の場合は漸近線もかき入れよ．
また，焦点の座標を答えよ．
(1)  $${x^2+2y^2+4x-4y+2=0}$$　　　(2)  $${x^2-2y^2-4y-10=0}$$

5⃣  楕円$${4x^2+y^2-8=0}$$と直線$${2x-y+k=0}$$が接するように実数定数$${k}$$の値を定めよ．

6⃣  双曲線$${3x^2-y^2+6=0}$$と直線$${x+y-k=0}$$との共有点の個数は，実数$${k}$$によってどのように変化するか答えよ．

答え