31.20 ベクトルの初歩（数ベクトルの内積の基本演習）

数ベクトルの内積の基本的な使い方を確認するための問題です。

基本演習

1⃣　次の２つの数ベクトルが垂直となるように、$${x}$$の値を定めよ。
　(1)  $${\vec{a}=(6, \: 2), \: \vec{b}=(x, \: 9)}$$　　　　(2)  $${\vec{a}=(x, -1), \: \vec{b}=(x, \: x+2)}$$

2⃣  (1) ２つのベクトル$${\vec{a}=(a_1, \: a_2), \: \vec{b}=(a_2, -a_1)}$$が垂直であることを示せ。ただし、いずれのベクトルも零ベクトルでないとする。　

(2)  (1)を用いて、ベクトル$${\vec{a}=(2, \: 1)}$$に垂直な単位ベクトルを求めよ。

(3)  (2)を用いて、ベクトル$${\vec{a}=(2, \: 1)}$$に垂直で、長さ５のベクトルを求めよ。

3⃣　３点$${\text{A}(1, \: 0), \: \text{B}(-2, \: 4), \: \text{C}(5, \: 3)}$$を頂点とする三角形の面積$${\text{S}}$$を次の各問に従って求めよ。
　(1)  ２つのベクトル$${\overrightarrow{AB}, \: \overrightarrow{AC}}$$を求めよ。

　(2)  ２つのベクトルの長さ$${|\overrightarrow{AB}|, \: |\overrightarrow{AC}|}$$を求めよ。

　(3)  内積$${\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}$$を求めよ。

　(4)  (2), (3)の結果を用いて三角形ABCの面積$${\text{S}}$$を求めよ。
　　(1)の結果だけを用いて求める方法を知っているのなら、それでもよい。

4⃣　３つのベクトル$${\vec{a}=(6, -2), \: \vec{b}=(0, \: 2), \: \vec{p}=\vec{a}+t\vec{b}}$$に対して、次の各問いに答えよ。ただし、$${t}$$は実数とする。
　(1)  $${|\vec{p}|=10}$$となるように$${t}$$の値を定めよ。

　(2)  $${|\vec{p}|}$$の最小値およびそのときの$${t}$$の値を求めよ。

　(3)  (2)のとき、２つのベクトル$${\vec{b}}$$と$${\vec{p}}$$の成す角を求めよ。

おまけ　$${\overrightarrow{OA}=(a_1, \: a_2), \: \overrightarrow{OB}=(b_1, \: b_2)}$$のとき、三角形△OABの面積$${\text{S}}$$が次式で求められることを示せ。

$${\text{S}=\dfrac{1}{\:2\:}|a_1b_2-a_2b_1|}$$

ただし、右辺の縦棒は絶対値を意味する。